Häufungspunkte der Folge bestimmen

Question

Aufgabe:

Häufungspunkte suchen der folgenden Folge:

x_n: \( \frac{n^2}{2+3*n^2} \) * cos(\( \frac{n*pi}{3} \)) + (-1)^n * \( \sqrt[n]{5^n+2^n} \)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre, dass man zuerst schaut, wie sich die einzelnen "Komponenten" verhalten.

Beispielsweise ist der erste Ausdruck konvergent und wenn man den Grenzwert bildet, immer 1/3.

Der Ausdruck (-1)^n kann je nach geradem oder ungeradem n ja nur -1 oder 1 sein.

Und der Ausdruck mit der Wurzel: dort ist der Limes immer 5, egal welche n man dafür einsetzt

Der COS wird 1, wenn man 6n einsetzt. Deswegen würde ich dann die Häufungspunkte suchen indem ich zuerst 6n und dann 6n+1, dann 6n+2,... etc untersuche.

Stimmt meine Vorgehensweise so oder nicht?

Am Ende dann limes von allem bilden. Wenn ich dann als erstes x_6n einsetze würde ich 16/3 erhalten. Erscheint mir jedoch ziemlich falsch. Wenn ich x_6n+1 einsetze, würde ich dann -14/3 erhalten. Bitte um Hilfe

Answer 1

Die Kosinuswerte sind immer wieder cos 120°, cos 240° und cos 360°, also -0,5; -0,5 und 1.

Es ergeben sich insgesamt 6 Häufungspunkte.

Comments

Kann es stimmen, dass dies meine Häufungspunkte sind?

1: 16/3

2: -14/3

3: 29/6

4: -16/3

5: 29/6

Das sind alle die ich finden konnte. Stimmt mein Ansatz wie man auf die Lösung kommen würde? Und wie findet man den 6ten Häufungspunkt heraus? Weil wenn ich mein n um eins erhöhe, dann erhalte ich wieder einen Häufungspunkt, den ich schonmal ausgerechnet habe.

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1: 16/3

Stimmt.

2: -14/3

-1/6 - 5 ergibt etwas anderes.

3: 29/6

Stimmt

4: -16/3

(1/3) - 5 ergibt etwas anderes.

5: 29/6

Stimmt.

6 (Für Teilfolge n∈{5, 11, 17, 23, ...):

(-1/6) -5

Oh du hast Recht!

Das ist mit Fall 2 identisch. Es gibt also nur 5 Häufungspunkte.

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Ok habe gerade gesehen, dass ich kleine Rechenfehler gemacht habe. Vielen lieben Dank für deine Hilfe. :) Schönen Abend noch.

Noch eine kleine Frage um sicher zu gehen.

Wenn der cos(\( \frac{(6*2+3)*pi}{3} \)) gesucht wird, kann man dann auch den

cos(\( \frac{6*2*pi}{3} \) + \( \frac{3*pi}{3} \)) in einzelnen Teilen berechnen. Wäre es hier dann so, wenn man den ersten Summanden berechnet würde 1 rauskommen und beim zweiten Summanden -1. Dann würde insgesamt 0 rauskommen, aber das stimmt ja nicht. Wenn man den Limes bildet, würde der erste Summand dann gegen null gehen und somit insgesamt -1 rauskommen?

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Es gilt cos x = cos(x+2π) wegen der Periodizität.

Answer 2

Die Folge x_6n zu betrachten ist schon richtig, denn dann deckst du alle vielfachen der sechs ab und der Kosinus macht keine Probleme.
Betrachten wir nun den Grenzwert dieser Teilfolge.
x_6n = (6n)^2/(2+3*(6n)^2) * cos(pi/3 * 6n) + (-1)^6n * (5^(6n) + 2^(6n))^(1/n)

= 36n^2/(2 + 108*n^2) * cos(2pi*n) + 1 * (5^6n+2^6n)^(1/n)

= n^2*36/(n^2(108+2/n^2)) * 1 + 1 * 5*(1+(2^6)/(5^6)^n)^(1/n))

= 36/(2/n^2+108) + 5 * (1+(2^6)/(5^6))^n)^(1/n)

lim x_6n = 1/3 + 5 = 16/3

n -> inf

Das ist der erste Häufungspunkt und ja deine Rechnung ist korrekt.
Nun hast du die Indizes (6,12,18,24,…) also unendlich viele durch diese Teilfolge abgedeckt, aber du musst alle natürlichen Zahlen abdecken. Deswegen musst du alle Teilfolgen n = 6k , n = 6k + 1 , …… , n = 6k-1 untersuchen.