Aloha :)
Gegeben sind folgende Punkte:\(\quad A(1|2|1)\;;\;B(1|5|2)\;;\;C(0|4|3)\).
Den Verbdindungsvektor von \(\overrightarrow{AB}\) von \(A\) nach \(B\) kannst du dir auf 2 Arten überliegen.
Methode 1:
Die \(x\)-Koordinate muss sich von \(1\) bei A auf \(1\) bei \(B\) ändern, Änderung um \(0\).
Die \(y\)-Koordinate muss sich von \(2\) bei A auf \(5\) bei \(B\) ändern. Änderung um \(3\).
Die \(z\)-Koordinate muss sich von \(1\) bei A auf \(2\) bei \(B\) ändern, Änderung um \(1\).
Das führt zu dem Verbindungsvektor:\(\quad\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\)
Methode 2:
Vom Ursprung zum Punkt \(A\) führt der Vektor \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\).
Vom Ursprung zum Punkt \(B\) führt der Vektor \(\vec b=\begin{pmatrix}1\\5\\2\end{pmatrix}\).
Um von \(A\) nach \(B\) zu gelangen, kannst du zunächst den Vektor \((-\vec a)\) zurück zum Ursprung laufen und dann den Vektor \((+\vec b)\) entlang zum Punkt \(B\). Das heißt:$$\overrightarrow{AB}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}$$
Merke dir die Regel: "Zielpunkt minus Startpunkt".
Wenn du das verstanden hast, solltest du die beiden fehlenden Vektoren selbst ausrechnen können. Zur Kontrolle:$$\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}$$
Mit \(\overrightarrow{AB}\) plus \(\overrightarrow{BC}\) plus \(\overrightarrow{CA}\) läufst du einmal komplett um das Dreieck herum und landest wieder bei Punkt \(A\), sodass die Summe dieser 3 Vektoren Null ist.
