Bestimmen sie alle b in R^n, für die Phi linear ist

Question

Betrachten Sie die folgende Menge:

\( \mathcal{B}:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)\right\} . \)

Sei die Abbildung \( \psi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) mit \( \psi(v)=A \cdot v+b \) mit \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \). Bestimmen Sie alle \( b \in \mathbb{R}^{n} \), für die \( \psi \) linear ist.

Answer 1

\(\psi\) linear \(\Rightarrow\)

\(\psi(2v)=2\psi(v)\quad (*)\), d.h.

\(2A\cdot v+b=A\cdot(2v) +b \stackrel{(*)}{=} 2(A\cdot v+b)=2A\cdot v+2b\).

also \(b=2b\; \Rightarrow \; b=0\).

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