Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N \ {0} die Beziehung...

Question

Aufgabe :
Sei \(X\) eine Menge und \(*:\ X\times X\to X\) eine assoziative innere Verknüpfung, für die \(x ∗ y = y^2∗ x\) für alle \(x, y \in X\) gilt.

Zeigen Sie, dass für alle \(n \in \mathbb{N}\setminus{\{0\}}\) die Beziehung

\(x^n* y = y^{2^n}*x^n\) für alle \(x, y \in X\) gilt.

Vielen Dank im Voraus

Comments

Ist dei Behauptung

$$x^n*y=y^{2n}*x^n$$

oder

$$x^n*y=y^{(2^n)}*x^n$$

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Sorry, die zweite Gleichung. Habe mich verschrieben.

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Weder noch, sondern   x*y^n = y²ⁿ*x

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Edit : Mein "weder noch" war nicht richtig.

Man kann   x^n*y =  y^2m*x^n für jede Zahl m ∈ {1 , ... , n}   beweisen.

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Edit 2 : Wenn der Wurm erst drin ist ...

Die Menge, die ich für m angegeben habe, stimmt nicht.
Ich weiß noch nicht, welche richtig ist.

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Man halte fest, dass

$$ x * y^{2^n} = \left( y^{2^n} \right)^2 * x = y^{2^{n+1}} * x$$

für beliebige x, y gilt.

Jetzt Induktion über n.

IA: n = 1 ist als Voraussetzung gegeben.

IS:

IV: Für ein n ≥ 1 sei \( x^n * y = y^{2^n} * x^n \) für alle x, y

IB: Dann gilt auch \( x^{n+1} * y = y^{2^{n+1}} * x^{n+1} \) für alle x, y

Beweis:

Seien x ,y beliebig, dann ist

$$ x^{n+1} * y = x*(x^n * y) \stackrel{IV}{=} x * (y^{2^n} * x^n ) = (x * y^{2^n}) * x^n = \dotsm $$

Umklammern kann man hier stets wegen der Assoziativität.

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Hallo,

ich hatte, ohne zu Überlegen, einen Induktionsbeweis versucht und war dadurch auf meine Frage gekommen. Mit dem Hinweis von Gast: Aus der voraussetzung folgt ja mit x=y: x^2=x^3. Dann ist eine Frage nach Formeln mit x^n irgendwie sinnlos.

Gruß Mathhilf