Also erst einmal wählt man ja ein ε >0. Wenn ε >0 dann ist ja auch \( \sqrt{}ε\) > 0. Und mit dem Satz von Archimedes gibt es ein n0∈N mit n0 > 1/ \( \sqrt{}ε\) >0 sodass ja dann logischerweise 1/(n0)^2 < ε ist. Für m,n ≥ n0 gilt m > n. Sei:
Betragstrich \( \sum\limits_{k=1}^{\{m}{1/k^3} \) - \( \sum\limits_{k=1}^{\{n}{1/k^3} \) Betragstrich = \( \sum\limits_{k=n+1}^{\{m}{1/k^3} \) ≤ (1/n) \( \sum\limits_{k=n+1}^{\{m}{1/k^2} \) ≤ (1/n) \( \sum\limits_{k=n+1}^{\{m}{1/((k-1)*k)} \) = (1/n) \( \sum\limits_{k=n+1}^{\{m}{(1/(k-1)) - (1/k)} \)
Und jetzt kommt etwas, was ich nicht verstehe, denn es wird weiter vereinfacht zu
= (1/n)((1/n)-(1/m)) ≤ 1/n^2 ≤ 1/n0^2 < ε
Kann mir einer sagen, warum 1/(k-1) - (1/k) einfach so durch ((1/n)-(1/m)) ersetzt wird?
