Die Umkehrfunktion von y=1/sqrt(1+x^2)

Question

Hallo. Gesucht ist die Umkehrfunktion von: y=1/sqrt(1+x^2).

Ich habe das jetzt schon 2x probiert:

Zuerst den Bruch und Wurzel durch Potenz ^{-1/2} aufgelöst, da bin ich schnell stecken geblieben.

2. Versuch: ausmultiplizieren des Nenners, um die wurzel los zu werden müsste ich ja noch einmal mit dem Nenner multiplizieren, dabei erscheint wieder eine wurzel usw..

Comments

Was soll denn der Definitionsbereich der Funktion sein?

Answer 1

y=1/(√1+x^2) |(...)^2 ->nach x auflösen

y^2= 1/(1+x^2) | *(1+x^2)

y^2  *(1+x^2) =1 |:y^2

1+x^2 = 1/y^2 |-1

x^2=(1/y^2) -1

x= ± √((1/y^2) -1)

->x und y vertauschen

y= ± √((1/x^2) -1)

Comments

Seit wann haben Funktionen zwei Umkehrfunktionen?

(vgl. meine Antwort)

Answer 2

 y=1/ √ (1+x²).

x =1/ √ (1+y² ).
√ ( 1 + y² ).= 1 / x
1 + y^2 = 1 / x^2
y^2 = 1 / x^2 - 1
y = ± √ ( 1 / x^2 - 1 )

mfg Georg

Answer 3

~plot~ 1 / sqrt(1+x^2) ~plot~  

Also ist eine Umkehrfunktion etwa nur für 0 < y ≤ 1 definiert.

y  =   1 / sqrt(1+x²)     quadrieren

y² =   1 / (1+x²)   


  (1+x²)    =   1 / y²

  x²    =    - 1  +   1 / y²  

x = √  (   - 1  +   1 / y²   )

Answer 4

da x nur mit geradem Exponent vorkommt und f in D_max = ℝ definiert ist, kann man den Verlauf des Graphen von f aus A2 mit der Wertemenge  ] 0 ; 1 [  einfach begründen, wenn man gedanklich alle x-Werte aus ℝ₀⁺ einsetzt. Auch das Steigungsverhalten ergibt sich direkt aus diesen Überlegungen.

 f: ℝ → ] 0 ; 1[  ; x ↦ 1 / √(1+x²) hat die Monotonieintervalle:

 ] - ∞ ; 0 ]  (streng monoton steigend)    und  [ 0 ; ∞ [   (streng monoton fallend)

 und ist deshalb nicht injektiv, hat also keine Umkehrfunktion.

Die beiden eingeschränkten Funktionen

f₁: ℝ₀⁺ → ] 0 ; 1[  ; x ↦ 1 / √(1+x²)    und   f₂: ℝ₀^-→ ] 0 ; 1[  ; x ↦ 1 / √(1+x²)  

haben jedoch Umkehrfunktionen  f₁^-1: ] 0 ; 1[  → ℝ₀⁺  und  f₂^-1: ] 0 ; 1[  → ℝ₀^-

deren Funktionsvorschriften ergeben sich aus: 

y = 1 / √(1+x²) 

Vertauschen der Variablennamen und Auflösen nach y  ergibt

x = 1 / √(1+y²)  ⇔ x * √(1+y²) = 1 ⇔ √(1+y²) = 1/x     (x≠0)

⇔  1+y² = 1/ x²  ⇔  y² =  1/ x² - 1  ⇔  y = ± √(1/x² - 1)      ( x ∈ ] 0 ; 1[ )

Also:

f₁^-1: ] 0 ; 1[  → ℝ₀⁺ ;  x  ↦  √(1/x² - 1)    bzw.   f₂^-1: ] 0 ; 1[  → ℝ₀^- ;  x  ↦  - √(1/x² - 1)  

Gruß Wolfgang