Probleme im 2. Schritt
Aufgabe
Ich soll in einem Dachraum die Breite b und Höhe h so wählen, damit der Raum ein maximales Volumen hat.
Gegeben:
Seiten des Dreiecks ABC: 8 m
Länge (Fix) des Raumes: 10m
1. Schritt
Volumen muss maximal sein.
VMax = 10*x*h
2. Schritt
h soll durch eine einzige variable ausgedrückt werden, nun frage ich mich was ist eigentlich h. gemäss Zeichnung ust ja die Höhe des Dreieckes ABC 5. Und demnach ist h: 5-h
Im Lerhmittel steht: "Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und A'B'C haben ihre Höhen und ihre Basisseiten das gleiche Verhältnis:
$$\frac { 5-h }{ 5 } =\frac { x }{ 8 } $$
nach h aufgelöst ergibt das
h = 5 - (5x/8)
Das kann man in die Hauptbedingung einsetzen und man erhält dann für V
V(x;h) = 10*x*h, Definitionsbereich D = )0;8(
$$V(x)=10*x*(5-\frac { 5x }{ 8 } )$$
$$V(x)=50x-\frac { 25 }{ 4 } x^{ 2 }$$
$$V'(x)=50-\frac { 25 }{ 2 } x=0$$
x = 4
Breite also 4m dann muss ich noch das 4 in h einsetzen und erhalte 2.5 m Höhe.
VMax = 10*4*(5/2) = 100m3
Das Maximale Volumen beträgt also 100m3.
Das Problem
Das Problem ist, ich hätte die Aufgabe bzw. das h nur als 5-h und hätte somit kein x aber wie kommt man auf die Gleichung in Schritt 2? Ich sehe nicht wie man die Gleichung aufstellen kann. Was habe ich verpasst, dass ich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke nicht erkenne dass das Verhältnis 5-h/5 gleich x/8 ist und woher kommt überhaupt der Nenner 5?
