Parameteraufgabe mit Flächeninhalt

Question

Wie geht man hier voran und wie lautet das Ergebnis?

Für jedes t > 0 ist eine Funktion f gegeben durch f (x) = x^2 - t^2 . Der Graph von f schließt mit der x-Achse eine Fläche A (t) ein.

Bestimmen Sie A (t) in Abhängigkeit von t. Für welche Werte von t beträgt der Flächeninhalt 36 FE?

Answer 1

Integral von -t bis t über f(x) dx = -4t³ / 3

Also A(t) =  4t³ / 3 also für t=3 kommt 36 raus.

Comments

Gibt es denn hier keinen genauen Rechenweg?  Möchte es nachvollziehen Danke !

---

Du berechnest erstmal die Nullstellen, gibt t und -t .

Und für die Integrale erst mal eine Stammfunktion

gibt  F(x) = 1/3 x³  - x*t²

also ist das Integral  F(t) - F (-t)

                 = -2/3 t³  -  2/3  t³     =   -  4/3  t³  

Und    4/3  t³     = 36  

                      t³ =  27

                      t = 3
 

---

Ok Danke wie berechnet man hier aber die Nullstellen ?  -t & t ?

---

Ok Danke wie berechnet man hier aber die Nullstellen ?  -t & t ? 

---

Kennst du die binomischen Formeln?

---

Nullstellen:

x² - t² = 0

(x-t)(x+t)=0

Also x=t oder x=-t

Answer 2

Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse und hat die Nullstellen x₁=-t, x₂=t. Berechne also den doppelten Betrag von ₀∫^t (x²-t²)dx=-2t³/3. Dann soll 4t³/3=36 sein. Also t=3.

Comments

Gibt es denn hier keinen genauen Rechenweg?  Möchte es nachvollziehen Danke !

---

Zeichne drei Parabeln für t=1, t=2 und t=3. Dann siehst du, was ich meine.

Answer 3

f(x) = x^2 - t^2 = (x + t)·(x - t)

Nullstellen f(x) = 0

(x + t)·(x - t) = 0 --> x = -t ; x = +t

f(0) = -t^2

A = 2/3 * g * h = 2/3 * (2 * t) * (t^2) = 4/3·t^3

Wenn man die Flächenformel der Parabel nicht kennt ist das ein guter Grund diese sich mal herzuleiten :)

A = 4/3·t^3 = 36 --> t = 3