Es gibt keinen Extrempunkt, wenn die Ableitung keine Nullstelle hat.
Da da eine quadratische Gleichung zu lösen ist, existiert keine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel, d.h. die sogenannte Diskriminante d < 0 ist.
In der ab-Formel gilt d = b^2 - 4ac
fk (x) = -x3 + kx2 + (k-1) x
fk ' (x) = -3x^2 + 2kx + (k-1) = 0
a = -3, b = 2k, c = (k-1)
Ungleichung, die zu lösen ist:
d = 4k^2 + 12(k-1) = 4(k^2 + 3k - 3) <0
y = k^2 + 3k - 3 ist die Gleichung einer nach oben geöffneten Parabel.
Ich bestimme ihre Nullstellen und weiss dann, dass sie zwischen den Nullstellen negative Werte annimmt.
Somit fk(x) für die k zwischen den Nullstellen keine Extrempunkte aufweisen.
k^2 + 3k - 3 = 0
a=1, b=3, c = -3
k1,2 = 1/2 ( -3 ± √(9 + 12))
k1 = 1/2 (-3- √21), k2 = 1/2(-3 + √21)
fk(x) hat keinen Extrempunkt, falls 1/2 (-3- √21) < k< 1/2(-3 + √21)
