Quadratische Gleichung - Anzahl Lösungen in der Lösungsmenge?

Question

Gesucht wird die Anzahl Lösungen (reelle), welche eine Gleichung nach der folgenden Form haben kann, wenn a nicht null ist:

 ax^4 + bx^2 + c = 0

Comments

Das ist keine quadratische Gleichung.

Answer 1

Die Antwort ist 4.....

Comments

Zum Beispiel y=5x^4-3x^2+0,25

~plot~5x^4-3x^2+0,25~plot~

Answer 2

 ax⁴ + bx² + c = 0

Ersetzen
z = x^2

az^2 + b*z + c = 0
...
z = [ + √ ( b^2 - a * c * 4 ) - b ] / ( 2 * a )

z = [ - √ ( b^2 - a * c * 4 ) - b ] / ( 2 * a )

Sollte z positiv sein gibt es für x  2 Lösungen
x_1,2 = ± √ z

Man könnte noch Fallunterscheidung
durchführen und noch komplexe Lösungen
anführen.

mfg Georg

Comments

Man könnte noch Fallunterscheidung
durchführen und noch komplexe Lösungen
anführen.

Oder die Aufgabenstellung beachten...

Answer 3

ax⁴ + bx² + c = 0  ist eine biquadratische und keine quadratische Gleichung.

ax⁴ + bx² + c = 0  kann 4 reelle Lösungen haben, muss aber nicht. Hier ist die Antwort auf die gestellte Frage eigentlich fertig. 

4 ist maximale Anzahl der Lösungen von ax⁴ + bx² + c = 0 mit a≠0.

Die Lösungen von ax⁴ + bx² + c = 0  liegen symmetrisch zu x=0. Es kann je nach a, b und c 4, 3, 2, 1 oder keine reelle Lösung geben.

~plot~ x^4; x^4-1; x^4 - x^2; x^4-3x^2+1;x^4 - x^2+2 ~plot~

Im 4. Fall mit a=1, b=-3 und c=1 gibt es tatsächlich 4 Lösungen. Mehr ist nicht möglich.

Mit a=1, b=-1,c=0 gibt es 3 Lösungen.

Mit a=1, b=0 , c=-1 gibt es 2 Lösungen.

Mit a=1, b=0, c=0 gibt es 1 Lösung.

Mit a=1, b=-1,c=2 gibt es keine Lösung.