Reelle Lösungen (quadratische Gleichung). Maximal mögliche Anzahl reelle Lösungen ay^6 + by^3 + c = 0

Question

Gesucht ist die maximal mögliche Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung nach der untenstehenden Form, wenn a nicht null ist.

ay^6 + by^3 + c = 0

Es wird ein messerscharfer Lösungsweg erwartet.

Answer 1

ay⁶ + by³ + c = 0

Substituiere x ? y^3

ax^2 + bx + c = 0

x = 1/(2a) * (-b ±√(b^2 - 4ac)) 

Hier kommen maximal 2 reelle Werte für x in Frage.

Rücksubst: y^3 = x ==> y = ³√(x) 

gibt zu jedem x genau ein y. 

Also: Maximal 2 reelle Lösungen. 

Answer 2

 In diesem besonderen Falle existiert im günstigsten Falle eine Zerlegung A(y³-B)(y³-C) in der sowohl der Faktor y³-B als auch der Faktor y³-C jeweils nur eine reelle Lösung hat. Damit hat dies Polynom maximal zwei reelle Lösungen.