Kreuzfahrt: Erwartete Besucherzahl im Restaurant am nächsten Tag?

Question

Auf einem Kreuzfahrtschiff gibt es drei verschiedene Restaurants, die wir mit A , B und C bezeichnen. Am ersten Abend hatten alle drei Restaurants gleich viele Besucher.
Wir gehen nun davon aus, dass jeder zweite Besucher eines Restaurants auch am Folgetag das gleich Restaurant aufsucht. War eine Person am Vortag in Restaurant A , so wird Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% Restaurant C aufsuchen. Gleiches gilt auch für Besucher von Restaurant B . Hat eine Person Restaurant C besucht und wechselt am nächsten Tag, so entscheidet Sie sich in 30% der Fälle für Restaurant B .

Der Küchenchef von Restaurant A hätte gerne gewusst, mit welcher Besucheranzahl er an den kommenden Tagen zu rechnen hat.
Ermitteln Sie eine Funktion f (t) , die den Anteil der Besucher von Restaurant A angibt.

Comments

Hallo Gast,

gibt es im Buch/Arbeitszettel/Internet noch weitere Tipps zur Aufgabe. Habe irgendwie das Gefühl dass da noch was fehlt?!?

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Das ist eigentlich keine Antwort sondern eher ein Kommentar.

EDIT(Lu): "Antwort" wurde in Kommentar umgewandelt. 

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Bei welcher Teilaufgabe hast du Schwierigkeiten?  Die a) kriegst du doch bestimmt hin, oder?  Sag mir, bei welcher Teilaufgabe ich dir helfen soll.

Answer 1

a) Skizzieren Sie die Übergänge zwischen den drei Restaurants und geben Sie die zugehörige Übergangsmatrix G an.

G = [0.5, 0.2, 0.35; 0.2, 0.5, 0.15; 0.3, 0.3, 0.5]

b) Bestimmen Sie die Besucherverteilung am zweiten Abend.

[21/60; 17/60; 22/60]

c) Welches Restaurant hatte an den ersten drei Abenden die wenigsten Besucher? Begründen Sie Ihre Antwort.

Restaurant B.

d) Bestimmen Sie die Grenzverteilung.

[41/112; 29/112; 42/112]

e) Es seien S und D die folgenden Matrizen:

S = [-3, -1, 41; 1, 1, 29; 2, 0, 42] und D = [x, 0, 0; 0, 0.3, 0; 0, 0, 1]

Zeigen Sie, dass für ein geeignetes x die folgende Eigenschaft gilt:

S * D * S^{-1} = G

Für x = 0.2 gilt diese Eigenschaft

f) Der Küchenchef von Restaurant A hätte gerne gewusst, mit welcher Besucherzahl er an den kommenden Tagen zu rechnen hat. Ermitteln Sie eine Funktion f(t), die den Anteil der Besucher von Restaurant A angibt.

f(t) = (123 - 32·0.3^t + 21·0.2^t)/336