Grenzen gegeben. Integral soll gleich 0 sein. Wie bekomme ich Funktionen heraus?

Question

Geben Sie zwei verschiedene Funktionen an mit $$  \int _{ 0 }^{ 4 }{ f(x)dx=0 }  $$

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Nimm irgendeine Funktion g, die im Intervall [0 ; 4] stetig differenzierbar ist.
Bilde F(x) = x·(g(x) - g(4))  und nimm dann  f = F' .

Answer 1

Hi,

mit f(x) = 0 kommt man offensichtlich auf das gewünschte.

Alternativ kann man auch f(x) = (x-2)^3 wählen. Hier spiegelt man die Funktion dritten Grades an der Stelle x = 2 und die beiden Seiten heben sich gerade weg zur 0 ;).

Grüße

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Ok, auf diese Triviallösungen kam mein Nachhilfeschüler heute nachmittag auch...

PS: Den Zusatz "Trivial-" nehme ich mal zurück; ganz so trivial ist es eigentlich doch nicht!

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Wolltest Du damit jetzt was zum Ausdruck bringen?

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Hallo Unknown!

"Wolltest Du damit jetzt was zum Ausdruck bringen?"

Ja! Es lassen sich auch viele nicht punktsymmetrische Funktionen mit der genannten Eigenschaft konstruieren. Das wären dann schöne Ergänzungen zu deinem guten Vorschlag! :-)

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Man kann auch sin x so zusammenschieben dass man nullstellen bei 0, 2 und 4 hat. Also

y=sin (x/2*π)

~plot~sin (x/2*pi)~plot~

Answer 2

Du brauchst z.b. Eine funktion mit nullstellen bei 0, 2 und 4, damit sich die Flächen zwischen 0-2 und 2-4 ausgleichen. Also nimm doch einfach die Nullstellen,  bilde daraus linearfaktoren und multipliziere diese.

f (x)=x*(x-2)*(x-4)=x^3-6x^2+8x

Answer 3

jede Funktion, die zu (2|0) punktsymmetrisch ist, erfüllt diese Bedingung. So z.B.:

$$f(x)=a \cdot(x-2)$$

\(a\) ist dabei ein beliebiger konstanter Faktor.

Oder eben jedes weitere ungerade ganzzahlige Polynom

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_k (x-2)^{2k+1}$$

\(n\) und die \(a_k\) kannst Du beliebig wählen.

Oder man schnitze sich eine mehr oder wenig beliebige Funktion - z.B. eine einfache Parabel: \(f(x)=x^2\) und verschiebst diese so lange in Y-Richtung, bis die Bedingung erfüllt ist. Gibt in diesem Fall:

$$f(x)=x^2-\frac{16}{3}$$

Gruß Werner

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Ganz allgemein: wähle eine beliebige Funktion, die im Intervall [0;4] endlich integrierbar ist. Es sei

$$\int_0^4 g(x)=F_4$$

dann ist

$$f(x)=g(x) - \frac{1}{4}F_4$$

Gruß Werner