Betragsgleichung mit Fallunterscheidungen lösen: | x-3 | = | x-5 |

Question

Braucht man hier eine Fallunterscheidung?

Wie sind solche Aufgabentypen zu lösen? Wann benutzt man eine Fallunterscheidung?

Mein Wissen ist ein wenig eingerostet.

Gruß

Answer 1

| x - 3 | = | x - 5 |

zwei Beträge können nur gleich sein, wenn die Terme in den Beträgen gleich sind oder der eine das Negative des anderen ist.

x - 3 = x - 5 kann nicht sein, also

x - 3 = - ( x - 5 )  ⇔  x - 3 = - x + 5   ⇔  2x = 8  ⇔ x = 4

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Eine Fallunterscheidung benötigt man, wenn man bei Gleichungen oder Ungleichungen auf beiden Seiten Umformungen durchführen  muss, die nicht für alle Werte der Unbekannten auf die gleiche Art möglich sind.

Beispiel:

im Folgenden kann man die gegebene Ungleichung nur mit FU mit x multiplizieren, weil sich bei Multiplikation mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umdreht.

4 / x  < 1   ⇔   (   4 < x  für x >0

                       (   4 > x  für x < 0

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang hat das schon sehr gut gelöst. Früher habe ich ganz gerne Benutzt, dass ich den Betrag auch anders schreiben kann.

|x| = √(x^2)

Damit ist

|x - 3| = |x - 5|

√((x - 3)^2) = √((x - 5)^2)

(x - 3)^2 = (x - 5)^2

x^2 - 6x + 9 = x^2 - 10x + 25

4x = 16

x = 4

Wie du siehst, ist dieses Verfahren aber meist deutlich umständlicher. Es gab nur wenige Anwendungen, wo ich dieses Verfahren einfacher fand. Trotzdem ist es hiilfreich es eventuell für den Notfall im Kopf zu haben.

Answer 2

| x - 3 | = | x - 5 |

( x - 3 )^2 = ( x - 5)^2
x^2 - 6x + 9 = x^2 -10x + 25
4x = 16
x = 4

mfg Georg

Answer 3

Wenn du die Betragsfunktionen gut kennst , kannst du sie skizzieren. Du musst eigentlich nur wissen, wie man lineare Funktionen zeichnet und dann den Teil unter der x-Achse nach oben gespiegelt abknicken.

~plot~ abs(x-3); abs( x-5 ); x=4 ~plot~

Hier ergibt sich sofort: x = 4. 

Answer 4

Die Menge der reellen Zahlen, die zur 3 den gleichen Abstand haben wie zur 5 (dies ist die Bedeutung der angeführten Betragsgleichung) ist doch sehr überschaubar. Somit ist eine explizite Fallunterscheidung entbehrlich.

Answer 5

|x-3|=|x-5|

Gefragt ist die Zahl, deren Abstand zu 3 gleich ihrem Abstand zu 5 ist, das ist in diesem Falle x=4. 

Rechnerisch:

Entweder du quadrierst beide Seiten, dann sparst du dir die Fallunterscheidung. Quadrieren ist hier eine Äquivalenzumformung, da beide Seiten positiv sind. Das führt zu einer quadratischen Gleichung. Bei komplizierteren Betrags Ungleichungen, bei denen im Betrag z.B quadratische Terme stehen, führt das aber auf Gleichungen 4.ten Grades, da sollte man das nicht machen.

Dann: Fallunterscheidung, bedeutet: 

suche die Nullstellen der Terme unter dem Betrag, hier x=3 und x=5.

Identifizieren die entsprechenden Intervalle, sodass die Beträge entsprechend des Vorzeichens aufgelöst werden können.

Hier: 

i)x in (-∞,3)

ii) x in [3,5]

iii) x in (5,∞)

Dann entsprechend die Gleichung auflösen und umformen.

z.B 

i)

-(x-3)=-(x-5)

3=5 , Widerspruch, in diesem Intervall gibt es keine Lösung.