Spiegelung an der Ebene E. b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von Φ bezüglich B'.

Question

Wir betrachten in ℝ³ den Untervektorraum

\( E:=\left\{\lambda_{1}\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right): \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}\right\} \)

Geometrisch ist dies eine Ebene durch den Ursprung. Weiter sei Φ: ℝ³ → ℝ³ die lineare Abbildung, die durch die Spiegelung an der Ebene E gegeben ist. 

a) Wählen Sie eine Basis B' des ℝ³ , für die die Bilder der Basisvektoren unter Φ leicht anzugeben sind, und geben Sie die Bilder der Basisvektoren an.

b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix \( M_{\mathrm{B}^{\prime}}^{\mathrm{B}^{\prime}}(\Phi) \) von Φ bezüglich B'.

Ansatz/Probleme:

a) verstehe ich. hier habe ich für B' ={(1; 0; 1)^T , (0; 1; 2)^T , (1; 2; -1)^T}

Bei b) habe ich keine Idee. Kann jemand anschaulich erklären, wie man die b) macht, vor allem das mit der Spiegelung erklären?

Answer 1

In die Spalten der Abbildungsmatrix gehören die Bildvektoren der Basisvektoren.

Dein dritter Basisvektor steht senkrecht auf E ?

Dann ist sein Bild in B' der Vektor (0|0|-1) : erste Spalte!

Die andern beiden sind fest. Also Bilder davon: (1|0|0) und (0|1|0)

Ergibt die Matrix M =

(  1 0 0

.  0 1 0

.  0 0 -1 )

bezügliche der Basis B' .

Comments

hallo Lu,

könntest du mir erklären, wie du darauf kommst? Warum (1|0|0) und (0|1|0) fest sind und wie du auf (0|0|-1) kommst?

Und könntest du mir vorallem die Spiegelung erklären?

Danke.

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bräuchte noch Hilfe mit der b) ;(