Extremalproblem - Quadrieren der Zielfunktion

Question

ich versuche folgende 2 Aufgaben zu lösen:

Dies sind meine Ansätze:

Wie geht man genau beim quadrieren der Zielfunktion vor (Aufgabe 27) ? Wie kann ich eine passende Zielfunktion bei Aufgabe 28 erstellen?

Answer 1

Aufgabe 27:

Da die Fläche hier stets positiv ist, wird sie maximal, wenn ihr Quadrat maximal wird.

Quadriere also A(b) und bestimme das Maximum von A^2(b):

$$ A^2(b)=(D^2-b^2)*b^2=D^2b^2-b^4\\(A^2)' (b)=2D^2b^2-4b^3=b^2(2D^2-4b^2)=0\\b=0 \text{ (fällt weg)}\\ (2D^2-4b^2)=0\\\frac { D }{ \sqrt { 2 } }=b\\$$

Man erhält ein Quadrat.

Bei Aufgabe 28:

Deine Formeln stimmen. Nun h mithilfe von U und b ausdrücken:

$$ U=2s+b\\\frac { U-b }{ 2 }=s\\h=\sqrt { s^2-(\frac { b }{ 2 })^2 }=\sqrt { (\frac { U-b }{ 2 })^2-(\frac { b }{ 2 })^2 }\\A(b)=\frac { bh }{ 2 }=\frac { b\sqrt { (\frac { U-b }{ 2 })^2-(\frac { b }{ 2 })^2 } }{ 2 }\\A^2(b)=\frac { b^2  ((\frac { U-b }{ 2 })^2-(\frac { b }{ 2 })^2)  }{ 4 } $$

Jetzt ableiten und Maximum bestimmen.

Comments

Bei Aufgabe 28 ist mir ein Fehler unterlaufen, ich habe nund ie Rechnung nochmal wiederholt und die Zielfunktion in Abhängigkeit von s erstellt.

$$ U=2s+b\\b=U-2s\\h=\sqrt { s^2-(\frac { b }{ 2 })^2 }=\sqrt { s^2-(\frac { U-2s }{ 2 })^2 }\\A=hb/2=\frac { \sqrt { s^2-(\frac { U-2s }{ 2 })^2 }(U-2s) }{ 2 }\\A^2(s)=\frac {  ({ s^2-(\frac { U-2s }{ 2 })^2 })(U-2s)^2 }{4 } $$

(Zur Kontrolle: es ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck, s=U/3)

Answer 2

Wenn man die Funktionsgleichung

        A(b) = √(D² - b²) · b

quadriert, dann bekommt man

        (A(b))² = (√(D² - b²) · b)².

Answer 3

a^2 + b^2 = d^2 --> b = √(d^2 - a^2)

A = a * b = a·√(d^2 - a^2)

A' = (d^2 - 2·a^2)/√(d^2 - a^2) = 0

d^2 - 2·a^2 = 0 --> a = √2/2·d

b = √(d^2 - (√2/2·d)^2) = √2/2·d

Es handelt sich um ein Quadrat.

Comments

Ich nehme die Seiten a, a und b

U = a + a + b --> a = (U - b)/2

(b/2)^2 + h^2 = a^2 --> h = √(4·a^2 - b^2)/2 = √(4·((U - b)/2)^2 - b^2)/2 = √(U^2 - 2·U·b)/2

A = 1/2 * b * h = 1/2 * b * √(U^2 - 2·U·b)/2 = √(U^2·b^2 - 2·U·b^3)/4

A' = (3·b - U)·√(U^2 - 2·U·b) / (4·(2·b - U)) = 0

3·b - U = 0 --> b = U/3

U^2 - 2·U·b = U*(U - 2·b) = 0 --> b = U/2 --> Das macht aber keinen Sinn.

Von daher ist b 1/3 des Umfangs und es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck.

Answer 4

A ( b ) = b * √ ( D^2 - b^2 )
Produktregel fürs Ableiten anwenden.
oder
b in die Klammer bringen

A ( b ) =  √[ b^2 *  ( D^2 - b^2 )]

A ( b ) =  √ ( b^2 * D^2 - b^4 )

Wir suchen nur den Extrempunkt
( √ term ) ´ = term ´ /  Nenner
Für den Extrempunkt gilt : ist
term ´= 0 dann ist term ´/ Nenner auch 0
( b^2 * D^2 - b^4 ) ´= 2 * b * D^2  - 4 * b^3
2 * b * D^2  - 4 * b^3 = 0
b * ( 2 * D^2  - 4 * b^2 ) = 0
b = 0
und
2 * D^2  - 4 * b^2 = 0
4 * b^2 = 2 * D^2
b = √ ( 1/2 * D^2 )

a = √ ( D^2 - b^2 )
a = √ ( D^2 - 1/2 * D^2 )
a = √ ( 1/2 * D^2 )

a = b

Das Rechteck ist ein Quadrat.

mfg Georg