Extremalprobleme // Tunnel, Quadrieren der Zielfunktion

Question

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Ein Tunnel von 12m Länge besitzt einen halbkreisförmigen Querschnitt von 8 m Durchmesser. Durch den einbau zweier vertikaler Wände und einer horizontalen Wand aus Stahlblech(Wandstärke vernachlässigbar) soll ein Durchgang mit rechteckigem Querschnitt geschaffen werden. Welche Höhe h und welche Breite b muss der Durchgang erhalten, damit seine Querschnittsfläche maximal wird?

Meine Ideen:

HB: A=h*b

NB: b/2= h --> da es sich um einen Halbkreis handelt und das größte Viereck in einem Kreis ein Quadrat ist, müsste die Hälfte des Kreises zur Folge haben, dass eine Seite( hier b ) unverändert bleibt, aber die andere ( h ) halbiert wird.

Hier meine Abbildung.

Ich vermute man kann das ganze mit dem Satz des Pythagoras lösen.

Der Radius des Tunnels, wäre ja dann x/2 der Radius.

(x/2)=√(h² + b² )

Dementsprechend müsste man die Funktion am Ende Quadrieren ( haben wir im Unterricht durchgenommen), da man schlecht von Wurzeln eine Ableitung bilden kann.

Wozu ist die Länge von 12 m entscheidend? Man will ja nur den Flächeninhalt, nicht das Volumen.

Ich bitte um Vervollständigung meiner Ansätze oder Korrektur, wenn diese falsch sind.

Luis

Answer 1

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->  die Länge von 12 m spielt für den Querschnitt des Rechtecks keine Rolle

-> wenn du noch den Radius r zu einem der oberen Rechteck-Eckpunkte

einzeichnest , dann hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten b/2

und h und der Hypotenuse r

=> r^2= (b/2)^2 + h^2 ... oder .. r^2 - h^2 = (b/2)^2   .. oder  b = 2 * sqrt( r^2 - h^2)

die Querschnittsfläche ist dann

-> A = h*b = h * 2 * sqrt( r^2 - h^2) =  2 * sqrt( h^2* r^2 - h^4 )

und nun ist es so, dass die Wurzel dann den grössten Wert annimmt, wenn

der Radikand am Grössten ist .. also kann man jetzt  - statt die Wurzel abzuleiten

- die Ableitung des  Radikanden  f(h)= ( h^2* r^2 - h^4 )  untersuchen  ,

  dh die Nullstellen von f ' (h ) suchen:

also  -> f ' (h ) = 2 * r^2 * h  -  4* h^3

und für f ' (h )= 0 =>  2*h*( r^2 - 2* h^2 ) = 0

das gibt ->h=0 für das Minimum ..und das Maximum bei   h= sqrt(2)/2  * r 

.. also mit r=4 => h= 2* sqrt(2)

b und A kannst du jetzt noch selbst durch Einsetzen berechnen ..

ok?

Comments

Klasse, nur verstehe ich den Schritt A = h*b = h * 2 * sqrt( r² - h²) =  2 * sqrt( h²* r² - h⁴ ) nicht so ganz

Answer 2

Für die Extremwertsuche ist es egal, ob man das Quadrat oder die Wurzel von einer Funktion nimmt, weil im positiven Bereich streng monoton steigend.

Aber sooo schwierig wäre es nicht eine Wurzel abzuleiten ... nur in diesem Fall Zeitverschwendung.