Von einem Drachenviereck ABCD seien die Seitenlängen bekannt. Wie groß sind f, e, β, γ und δ? (Trigonometrie)

Question

Aufgabe:

Von einem Drachenviereck ABCD seien die Seitenlängen \( a=3,5 \mathrm{cm} \) und \( \mathrm{b}=6,5 \mathrm{cm}, \) ferner die Winkelgröße \( \alpha=88^{\circ} \) bekannt. Wie groß sind f, e, \( \beta, \gamma \) und \( \delta ? \)

Comments

Das Drachenviereck hat eine Symmetrieachse AC. D.h. z.B. a=d,b=c, AC teilt α und γ in zwei gleich große Winkeln usw.

Dann einfach Sin(α) benutzen, um f zu berechnen. Das gleiche mit γ.

Answer 1

Drachenviereck mit a=3.5cm, b=6.5cm und alpha = 88°, Trigonometrie 11

f/2 ist die Gegenkathete von alpha/2

und a ist die Hypotenuse in diesem Dreieck. Deshalb: 

(f/2)/a = sin(alpha/2) 

f/2 = a* sin(alpha/2)

f = 2a* sin(alpha/2) = 2*3.5 * sin(44°) cm = 7*sin(44°) cm ≈ 4.863 cm 

Linker Anteil von beta und delta misst 90° - 44° = 46°.  Blau: Teilresultat. 

Linker Anteil k von e ist Ankathete von 44°.

Daher k/a = cos(44°) ==> k = a*cos(44°) = 3.5* cos(44°) cm ≈ 2.518 cm. 

f/2 ist auch die Gegenkathete von gamma/2. Daher

sin(gamma/2) = (f/2 )/b =((7*sin(44°))/2)/6.5 

gamma/2 = arcsin(((7*sin(44°))/2)/6.5 ) 

gamma = 2* arcsin(((7*sin(44°))/13 ) ≈ 43.9287°

rechter Anteil von beta ist 90° - 43.9287°/2  = 68.0356°

beta = delta = 68.0356° + 46° = 114.036°

rechter Anteil r von e ist Ankathete von gamma/2 

r/b = cos(gamma/2) 

r = b* cos(gamma/2) ≈ 6.5 * cos(43.9287°/2) cm ≈ 6.028 cm

e ≈ 6.028 cm + 2.518 cm = 8.546 cm

unbedingt selber noch alles nachrechnen und dann erst die Resultate so runden, wie das euer Lehrer haben will. 

Zur Kontrolle am besten das Viereck noch konstruieren und vermessen.