Genauigkeit des Taschenrechners

Question

Mein Taschenrechner nennt 1 als Ergebnis von ³√(11+4√29)+³√(11-4√29). Kann ich diesem Ergebnis vertrauen? Begründung der Antwort!

Answer 1

Hi,

versuch mal das Argument der Wurzel als dritte Potenz zu schreiben:

Ziel ist also: \((a+b)^3\)

Ziemlich sicher kann man davon ausgehen, dass \(\sqrt{29}\) zum Faktor b gehört

Löst man also \((a+b)^3 = 11+4\sqrt{29}\), mit \(b = \sqrt{29}\), so erhält man \(a = \frac12-\frac{\sqrt{29}}{2}\)

Das kann man dann auch umschreiben zu \(a = \frac12\) und \(b = \frac{\sqrt{29}}{2}\)

\(\to 11 + 4\sqrt{29} = \left(\frac12 + \frac{\sqrt{29}}{2}\right)^3\)

Für den zweiten Summanden:

\(\left(\frac12 - \frac{\sqrt{29}}{2}\right)^3\)

Das nun in die dritte Wurzeln einsetzen:

und es bleibt insgesamt:

$$\frac12+\frac{\sqrt{29}}{2} + \frac12-\frac{\sqrt{29}}{2} = 1$$

Die Genauigkeit ist also exakt.

Grüße

P.S.: War eine etwas schwere Geburt. Hoffe es ist dennoch ein roter Faden mit dabei. Habs direkt hier versucht statt mir nen Schmierzettel zu machen :D.

P.P.S.: Latex gesetzt

Comments

@Unknown. Vielen Dank für deine Mühen. Kannst du mir zu dieser Zeile Genaueres vorrechnen:

Löst man also (a+b)³ = 11+4√29, mit b = √29, so erhält man a = 1/2-√(29)/2

Wenn ich (a+b)³  mit b = √29 rechne erhalte ich zunächst (a+√29)³  und dann a·(a²+87)+(3a²+29)·√29.

Hier soll a·(a²+87)=11 und 3a²+29=4 sein.

Wie kommst du jetzt auf a = 1/2-√(29)/2?

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Ich gebe zu, das durch nen Rechner erledigt lassen zu haben. Aber stimmt ist ein Problem dritten Grades, wodurch die Cardansche Formel zum Einsatz käme, wenn man nicht runden will.

Hier soll a·(a²+87)=11 und 3a²+29=4 sein.

Das ist so nicht richtig. Bspw. im ersten Summanden hast Du a quadratisch wie linear vorliegen. Spielt also für beide Summanden eine Rolle ;).

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Wenn t der gesuchte Term ist, so lässt sich t^3 (ganz ohne techische Hifmittel) leicht zu  t^3 = 22 - 21t   umformen.  Diese Gleichung hat die einzige Lösung  t = 1 .

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Von meiner Seite können wir die Unterhaltung an dieser Stelle beenden. Vielen Dank nochmal, für dein Bemühen.

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@hj2111: Kannst Du das noch ein weng ausführen. Wie kommst Du auf 22-21t?

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Mit \(u=\sqrt[3]{11+4\sqrt{29}}\) und \(v=\sqrt[3]{11-4\sqrt{29}}\) gilt wie man leicht nachrechnet \(uv=\sqrt[3]{-343}=-7\) und damit
\((u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=22-21(u+v)\).

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Ah stimmt. So ists doch bedeutend einfacher. Danke :)

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Vor allem ist es richtig - im Gegensatz zu anderen Lösungsvorschlägen.

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Wie meinen? Mein Lösungsvorschlag war ebenfalls richtig.

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@ unknown,

Deine Lösung hat einige Inkonsistenzen.

@ hj2111 / @ nn

Und die Lösung wird geraten? Und wo ist der großartige Unterschied zwischen Eurer kubischen Gleichung und der von Unknown?

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Wo denn? So viel hab ich gar nicht geschrieben, dass es für "einige" langt :P.