0 Daumen
2,3k Aufrufe

brauche mal ebene eure Hilfe bei einer Aufgabe.

In einem ersten Modell soll der gebogene Teil des Werkstückes durch eine Funktion g mit

$$g(x)=-\frac { 1 }{ 2 } a({ e }^{ \frac { x }{ a }  }+\quad { e }^{ -\frac { x }{ a }  })+3a$$ , x ∈ ℝ, a > 0 zwischen deren Nullstellen beschrieben werden.

Zeigen Sie allgemein:

Der Graph von g ist symmetrisch zur y-Achse.

g hat keine Wendestellen.

Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion g so, dass die y-Achse bei 50 geschnitten wird.

Entscheiden Sie, ob das mit g für a = 25 modellierte Werkstück den folgenden Qualitätkriterien genügt:

Die Weite w des gebogenen Teils des Werkstückes soll kleiner als 90 cm sein.

Der Steigungswinkel des gebogenen Teils des Werkstücks soll im Punk P kleiner als 72° sein.


Ich habe nicht wirklich Ahnung was ich machen soll. Würde mich um Hilfe freuen.

EDIT:  g(x) = - 1/2 a(e^{x/a} + e^{-x/a}) + 3a  in der Fragestellung aus dem Minus ein Plus gemacht. Vgl. Kommentare zur Frage. 

Avatar von

Symmetrie zur y-Achse wird z.B. hier erklärt:


https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

> Zeigen Sie allgemein:  Der Graph von g ist symmetrisch zur y-Achse.

f(-x) ≠ - f(x), denn in der Klammer dreht sich das Vorzeichen um, beim Summanden + 3a aber nicht.

Der Graph von g kann also nicht symmetrisch zur y-Achse sein.

Bevor man Lust hat, hier etwas zu rechnen, muss also erst einmal die Aufgabenstellung geklärt werden.

Hmmm, verstehe das immer noch nicht

 aber a is doch größer als 0, müsste es dann nicht im Prinzip auf das selbe hinaus laufen?

Bild Mathematik

Die Graphen sind nicht symmetrisch zur y-Achse und sie haben jeweils einen Wendepunkt. In deiner Aufgabenstellung steht es anders. (wurde inzwischen editiert)

Ups, entschuldigung in der Klammer müsste eigentlich ein Plus stehen, würde es dann was ändern?

Das ändert alles!

Bild Mathematik 

Danke für die ganze Arbeit, aber ich bin gerade etwas durcheinander und verstehe gerade nicht wie ich nach a auflösen soll?

3 Antworten

+1 Daumen

Hallo Bacardi,

nachdem Lu das mit der Symmetrie und den Wendestellen geklärt hat, bleiben noch einige Fragen offen:

>  Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion g so, dass die y-Achse bei 50 geschnitten wird.

Schnittpunkt auf der y-Achse: x = 0

- 1/2·a·(e0/a + e- 0/a + 3·a = 50   ⇔  - 1/2·a · 2 + 3a = 50   ⇔  2a = 50 ⇔  a = 25 

             g(x) = -25/2 * ( ex/25 + e-x/25 ) + 75 

Bild Mathematik

> Entscheiden Sie, ob das mit g für a = 25 modellierte Werkstück den folgenden Qualitätkriterien genügt:

> Die Weite w des gebogenen Teils des Werkstückes soll kleiner als 90 cm sein.

- 25/2 ·( ex/25 +  e-x/25 ) + 75 = 0    | * (-2/25)

 ex/25 +  e-x/25 - 6 = 0 

setze  z =  ex/25

z + 1/z - 6 = 0        | * z

z2 + 1 - 6z = 0

z2 - 6z + 1 = 0

pq-Formel:

 z1 ≈ 5.828427124  ;   z2 ≈ 0.1715728752  

x1 = 25 * ln(z) ≈ 44,07   ;  x2  ≈ - 44,07   →  w  =  x1 + x2  ≈  89,14

Die Weite w ( = Abstand der beiden Nullstellen ) ist also kleiner als 90 cm.

> Der Steigungswinkel des gebogenen Teils des Werkstücks soll im Punk P kleiner als 72° sein.

Da kein Punkt P gegeben ist, soll man wohl den größten Steigungswinkel an der Nullstelle x1 nehmen:

g' (x) = 1/2 * ( e-x/25 -  ex/25 )   →  mit x = Nullstelle x1    g' (x1) = -2.828427124

tan(α) = | -2.828427124 |   →   "Steigungswinkel" ≈ 70,53° < 72°    

( Ich denke, dass "..." mit dem Steigungswinkel gemeint ist. Eigentlich ist der Steigungswinkel der Winkel der Tangente mit der positiven Richtung der x-Achse, hier also 180° - 70,53° = 109,47° , was aber im Sinne der Qualitätskontrolle keinen Sinn machen würde. )

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀
0 Daumen

g(x) = -1/2 a(e^{x/a} + e^{-x/a}) + 3a 

g(-x) = -1/2 a(e^{-x/a} + e^{-(-x)/a}) + 3a 

g(-x) = -1/2 a(e^{-x/a} + e^{x/a}) + 3a 

g(-x) = -1/2 a(e^{x/a} + e^{-x/a}) + 3a 

= g(x)

q.e.d Symmetrie zur y-Achse. Erklärung vgl. oben im 1. Kommentar verlinktes Video.

Kontrolle: Graph mit a=1 und a=2:

~plot~ [[-3|3|-1|12]]; -1/2 * (e^{x} + e^{-x}) + 3 ; -1/2 *2(e^{x/2} + e^{-x/2}) + 3*2 ~plot~

Avatar von 162 k 🚀

Sorry, dass ich immer frage aber ich verstehe das Video nicht. Wie soll ich nach -x auflösen, wenn a noch da ist?

Du musst nicht nach -x auflösen. Das Einzige, was du tun musst, ist überall, wo x steht einfach (-x) hinschreiben und dann umformen bis wieder g(x) dasteht.

Allfällige Wendepunkte findest du, wenn du die 2. Ableitung = 0 setzt.

Kontrolle der Ableitungen kannst du von https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-1%2F2+e%5E(-x%2Fa)+(-1+%2B+e%5E((2+x)%2Fa)) haben:

Erste Ableitung

Bild Mathematik


eingesetzt in Wolframalpha, berechnet dann die 2. Ableitung von g(x):

Bild Mathematik  

Ich glaube, dass ich langsam anfange es zu verstehen, aber wo hast du f1 in dem Diagramm her und inwiefern würde es ein Unterschied geben?

@geoborn: Die Tex-Formel mit dem Minus war vorgegeben. Da war ausserdem noch ein Minus in der Klammer. Vgl. Kommentar oben.

aber wo hast du f1 in dem Diagramm her und inwiefern würde es ein Unterschied geben?

Ich habe für a den Wert 1 eingesetzt -> f1 und dann a=2. Ich kann ja nicht für alle a gleichzeitig zeichnen. Du kannst selbst beliebige andere Werte für a nehmen für deine Zeichnung. Rechnen musst du aber nur das, was ich zu Beginn gerechnet habe. 

0 Daumen

 g ( x ) = minus 1/2 * a * ( e ^{x/a} + e ^{-x/a} ) + 3a

g ( 0 ) = - 1/2 * a * ( e ^{0/a} + e ^{-0/a} ) + 3a = 50
g ( 0 ) = - 1/2 * a * ( e ^0 + e ^{-0} ) + 3a = 50
g ( 0 ) = -
1/2 * a * ( 1 + 1 ) + 3a = 50
g ( 0 ) = -
1* a  + 3a = 50
2 * a = 50
a = 25

Bild Mathematik

Gezeigt :

Der Graph von g ist symmetrisch zur y-Achse.

g hat keine Wendestellen.

Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion g so, dass die y-Achse bei 50 geschnitten wird.

Entscheiden Sie, ob das mit g für a = 25 modellierte Werkstück
den folgnden Qualitätkriterien genügt:

Unverständlich

Die Weite w des gebogenen Teils des Werkstückes soll
kleiner als 90 cm sein.

Der Steigungswinkel des gebogenen Teils des Werkstücks soll im Punk P kleiner als 72° sein.

mfg Georg

Avatar von 123 k 🚀

Die Weite w des gebogenen Teils des Werkstückes soll
kleiner als 90 cm sein.

Wenn man die y-Achse bis 0 zeichnet sieht man
das -45 < x  < 45 ist
Weite < 90
Sollte man auch noch rechnerisch nachweisen.

Bild Mathematik

georgborn hat berechnet:  "Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion g so, dass die y-Achse bei 50 geschnitten wird. " gerechnet. 


Der Steigungswinkel des gebogenen Teils des Werkstücks soll im Punk P kleiner als 72° sein.

g ( x ) = - 1/2 * a * ( e x/a + e -x/a ) + 3a

g ´ ( x ) = tan ( 72 ° )

Soviel zunächst

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community