In welchem Bereich betragen die variablen Stückkosten weniger als 3000 GE

Question

Ich habe K(X)= 0,02x^3-18x^2+6000x+5000000

In welchem Bereich betragen die variablen Stückkosten denn jetzt weniger als 3000 GE und bei welcher Produktionsmenge sind sie am geringsten?

Weiß jemand wie ich das rechnen muss?

Außerdem wird bei 200 ME Kostendeckung erzielt. Wie bestimme ich die Erlösfunktion und die Gewinnzone?

Answer 1

K(X)= 0,02x³-18x²+6000x+5000000

variable Kosten

k(X)= 0,02x³-18x²+6000x

variable Stückkosten

k(x) / x =  0,02x²-18x+6000  = 3000

gibt x = 220,87  oder x=679,13 

Dazwischen sind sie kleiner als 3000,  

Denn    0,02x²-18x+6000

beschreibt ja eine nach oben geöffnete Parabel.

Also geringster Wert genau in der Mitte zwischen

x = 220,87  und x=679,13    also bei x=450.


Bei x=200 hast du Kosten von 5640000.

Das ist gleich dem Erlös bei 200, also bei konstantem Preis

wäre dieser  28200 und damit die Erlösfunktion E ( x) = 28200*x

und der Gewinn  E(x) - K(x) .  Das gibt 0 für x=200 und x=1521.

Dazwischen ist die Gewinnzone.

Comments

k(x) in der 3. und 5. Zeile ist etwas verwirrend. Solltest du vielleicht zu K_v(x) editieren.  (Mit k(x) werden meist die Stückkosten bezeichnet.)

Answer 2

Die Kostenfunktion K wird häufig auch als Gesamtkostenfunktion bezeichnet, um sie von anderen (wie etwa der variablen Kostenfunktion) abzugrenzen. 

Die Formel der Kostenfunktion ist $$K(x)=K_v(x)+K_f$$ wobei K_f ≥ 0 sind die Fixkosten und K_v(x) die variablen Kosten. 

In diesen Fall haben wir dass $$K_v(x)=0.02x^3-18x^2+6000x \ \text{ und } \ K_f=5000000$$

Die variable Stückkostenfunktion sind variable Kosten pro Mengeneinheit, wir haben also dass $$k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}=\frac{0.02x^3-18x^2+6000x}{x}=0.02x^2-18x+6000$$

Wir suchen also die x sodass $$k_v(x)\leq 3000 \Rightarrow 0.02x^2-18x+6000\leq 3000 \Rightarrow 0.02x^2-18x+3000\leq 0$$

Um das Minimum zu finden leiten wir die Funktion ab und berechnen die Nullstelle und wenn die zweite Ableitung an diesen Punkt positiv ist, hat die Funktion tatsächlich ein Minimum an diesen punkt.

$$k_v'(x)= 0.02\cdot 2 x-18=0.04 x-18 \\ k_v'(x)=0 \Rightarrow 0.04 x-18=0 \Rightarrow 0.04 x=18\Rightarrow x=\frac{18}{0.04} \Rightarrow x=450$$

Wir haben dass $$k_v''(x)=0.04>0$$ also die variable Stückkostenfunktion  ist am geringsten für x = 450.