Integralrechnung Untersumme mit unendlich n: Fehler?

Question

Hallo :),

die Aufgabe lautet:

"Berechnen Sie U_n und O_n für die Funktion f über dem Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n -> unendlich?",

die Funktion: f(x)= 2x^2 + x,

und das Intervall: [0;1]

Bis jetzt habe ich folgendes:

Wo ist der Fehler, denn die Lösung ist 7/6?

die Zahlen in den Klammern stehen für die jeweilige Zeilennummer

Answer 1

Der Anfang war nicht ganz korrekt, versuch mal so:

$$ \frac { 1 }{ n }*((2* (\frac { 0 }{ n })^2+ \frac { 0 }{ n })+(2* (\frac { 1 }{ n })^2+ \frac { 1 }{ n })+(2* (\frac { 2 }{ n })^2+ \frac { 2 }{ n })...(2* (\frac { n-1 }{ n })^2+ \frac { n-1 }{ n }))$$
$$ =\frac { 1 }{ n }*(2* (\frac { 0 }{ n })^2+2* (\frac { 1 }{ n })^2+2* (\frac { 2 }{ n })^2+....2* (\frac { n-1 }{ n })^2)+(\frac { 0 }{ n }+\frac { 1 }{ n } +\frac { 2 }{ n }+...\frac { n-1 }{ n })$$
$$ =\frac { 1 }{ n }*(\frac { 2 }{ n^2 }*(0^2 +1^2 +2^2 +(n-1)^2)+\frac { 1 }{ n }*(0+1+2+...+(n-1) ))$$

$$ =\frac { 2 }{ n^3 }*(0^2 +1^2 +2^2 +(n-1)^2)+\frac { 1 }{ n^2 }*(0+1+2+...+(n-1) )$$

Comments

danke :).

wie kommst du von: $$ =\frac { 1 }{ n }*(\frac { 2 }{ n^2 }*(0^2 +1^2 +2^2 +(n-1)^2)+\frac { 1 }{ n }*(0+1+2+...+(n-1) )) $$

auf: $$ = ...\frac { 1 }{ n^2 }*(0+1+2+...+(n-1) ) $$ ?

ich meine davon jedoch nur das: $$ \frac { 1 }{ n^2 } $$

danke im Voraus :).

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Da wurde die äusserste Klammer aufgelöst.

...+ (1/n)*(1/n) ....

d.h.

...+(1/n^2) ...

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ich habe weitergerechnet und es kam $$ \frac{7}{6} $$ bei heraus :), danke.

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Bitte. Freut uns.

Das Resultat passt. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+2x%5E2+%2B+x+from+x%3D0+to+x%3D1