Obersumme und Untersumme f (x)=2-x mit Intervall [0;2] ; Grenzwert n --> unendlich

Question

Hallo

On= 2/n  * (2-(2/n) + 2-(4/n)+...2-n)

On= 2-(2/n) * (2n + 4n + ... n)

Hier weiss ich nicht weiter. Kann mir bitte

Jemand helfen? Grüsse aus Berlin - sergey

Answer 1

On= 2/n  * (2-(2/n) + 2-(4/n)+...2-2n/n)

=   2/n  * (2*n  - (  (2/n) + (4/n)   ...    + 2n/n)   )

=   4    -  (2/n) * (  (2/n) + (4/n)   ...    + 2n/n)  

=   4    -  (2/n) *  2*  (  (1/n) + (2/n)   ...    + n/n)   )

=   4    -  (2/n) *  2*  (  (1 +2  ...    + n  )  /n)   )     dann Summenformel

=   4    -  (2/n) *  2*  (  n*(n+1)/2  )  /n)   )  

=   4    -  (2/n) *  (  n*(n+1) )  /n)   )  

=   4    -  (2/n) *   (n+1) )   

=   4    - 2*   (n+1)/n   

Grenzwert  2 !  Passt !

Comments

Hi

Danke für deine Lösung.

Ich verstehe aber nicht, wie du im 3. Schritt auf 4-2n kommst?

Die 4 ist wohl das Produkt von 2/n und 2n , aber wie kommt man auf - 2/n.

Wenn ich das noch begreifen würde - hätte ich tatsächlich die ganze Aufgabe verstanden. Danke vorab

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Da hatte ich mich vertan, muss so heißen

=   2/n  * (2*n  - (  (2/n) + (4/n)   ...    + 2n/n)   )

Das ist ja so  :

=   2/n  * (2*n  - (  (2/n) + (4/n)   ...    + 2n/n)   )
schwarz * ( rot - grün ) 


=   schwarz*rot   -  schwarz * grün


schwarz * rot = 4

schwarz * grün =  2/n *  (  (2/n) + (4/n)   ...    + 2n/n  )

Answer 2

Wenn ich zum Graph von f(x)=2-x eine Obersumme berechnen will, brauche ich zunächst einen Bereich auf der x-Achse, den ich in n gleichlange Abschnitte (Breite der Rechtecke) einteilen kann. Da der Graph durch die Punkte (0/2) und (2/0) geht, wähle ich den Bereich von 0 bis 2 auf der x-Achse. Jedes Rechteck der Obersumme hat dann die Breite 2/n. Das erste Rechteck von links hat die Höhe f(2/n)=2-2/n. Das zweite Rechteck hat die Höhe f(2·2/n)=2-4/n. Allgemein hat das k-te Rechteck die Höhe f(k·2/n)=2-k·2/n. Die Summe aller Produkte aus 2/n (Breite) und 2-k·2/n (Höhe) ist dann die Obersumme. Das k-te Produkt heißt dann 2/n(2-k·2/n)= 4/n-k·4/n². Es sind n dieser Produkte zu addieren: Das ergibt n·4/n-4/n²·(1+2+3+4+5+ ... +n). dabei ist 1+2+3+4+5+...+n=(n²+n)/2. Also ist O_n=4-4/n²·(n²+n)/2.

Die weitere Vereinfachung dieses Term überlasse ich dir. Danach n gegen Unendlich.

Comments

Da musst du noch was verbessern, z.B. ist dieser Satz   Das zweite Rechteck hat die Höhe f(2·2/n)=2-4/n.   falsch.

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Hallo hj2166. Dein Ton ist tatsächlich etwas gemäßigter geworden (statt "falsch" ginge auch "meiner Meinung nach nicht richtig"). Aber, wie üblich,  verstehe ich deine Korrektur mal wieder nicht.

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Richtig oder falsch geht in der Mathematik doch nicht nach Meinung.
Du musst richtig zählen.

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Natürlich geht es in der Mathematik nicht um persönliche Meinungen. Aber in diesem Forum geht es auch um einen wohlmeinenden Ton.

Zur Sache; Ich schrieb: "Allgemein hat das k-te Rechteck die Höhe f(k·2/n)=2-k·2/n." Ist das falsch?

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Dein Ton ist tatsächlich etwas gemäßigter geworden
Ja, tut mir leid, ich bin heute nicht so in Form.

... Ist das falsch?
Ja.

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Dann hast du heute also deinen mildtätigen Tag?

Ich bitte dich daher um die konkrete Angabe der (statt meiner Formulierung) richtigen Formulierung. Für kurze Hinweise ist mein Gehirn noch nicht geeignet.

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Du könntest ja mal die gesuchte Fläche mittels Integralrechnung oder zumindest mit der Flächenformel   A_Δ  = Grundseite · Höhe / 2    für Dreiecke berechnen. Wenn du alles richtig machst, erhältst du den Wert 2.
Wie kann dann dein Ergebnis    O_n=4-4/n²·(n²+n)/2    für eine Obersumme kleiner als 2 richtig sein?
Ich habe dir in einem vorherigen Kommentar doch sogar gesagt wo dein Fehler liegt.

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Ich glaube ich habs jetzt.