Schon über 100 Jahre bekannt, selbst unter
https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion
zu finden: die LambertW-Funktion.
Dein Fall ist §5 unter
http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html
mit a=3, b=9, c=0
Alle guten Rechner kennen sie
-> hier 5 Lösungen in Tabellenform:
n | x[n] =-LambertW(n, -0.3333333333333333333333333..)/3
-2 | 1.0636542453886575723414461 + 2.4830897289145333974998322 i
-1 | 0.5040448505526141579655800...
0 | 0.2063537622453150373841089...
1 | 1.0636542453886575723414461 - 2.4830897289145333974998322 i
2 | 1.2546730939613966436930662 - 4.6240703464555534029320491 i
Probe:
f(x)=e^{3x}-9x ergibt für alle 5 Ergebnisse {also das x eingesetzt} f(x)=0
Wenn Ihr keine komplexen Zahlen hattet, sind nur x[-1] und x[0] die reellen Lösungen.
Da unendlich viele Nachkommastellen, fehlt die gewünschte Genauigkeit in der Aufgabenstellung.