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Hallo an alle Matheüberflieger.

wie schon gesagt will ich die Nullstelle von f(x)= e(3x)-9x berechnen. Also das gange =0 setzen.

Hier ist was ich habe.

e3x-9x=0    /+9x

e3x=9x   /ln

3x=ln(9x)

3x=ln(9)+ln(x)  /-ln(x)

3x-ln(x)=ln(9)

Jetzt hab ich alle x auf einer seite aber wie gehts weiter?

PS: das Ergebnis ist  x1=0.206..... x2=0.504 -- Aber wie?

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Das geht wohl nur näherungsweise (Newtonverfahren oder so.).


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Wie mathef auch schon geschrieben hat :

algebraisch ist dies nicht zu lösen.

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Schon über 100 Jahre bekannt, selbst unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

zu finden: die LambertW-Funktion.

Dein Fall ist §5 unter

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

mit a=3, b=9, c=0

Alle guten Rechner kennen sie

Bild Mathematik

 -> hier 5 Lösungen in Tabellenform:

 n | x[n] =-LambertW(n, -0.3333333333333333333333333..)/3

-2 | 1.0636542453886575723414461 + 2.4830897289145333974998322 i

-1 | 0.5040448505526141579655800...

 0 | 0.2063537622453150373841089...

  1 | 1.0636542453886575723414461 - 2.4830897289145333974998322 i

  2 | 1.2546730939613966436930662 - 4.6240703464555534029320491 i

Probe:

f(x)=e^{3x}-9x ergibt für alle 5 Ergebnisse {also das x eingesetzt}  f(x)=0

Wenn Ihr keine komplexen Zahlen hattet, sind nur x[-1] und x[0] die reellen Lösungen.

Da unendlich viele Nachkommastellen, fehlt die gewünschte Genauigkeit in der Aufgabenstellung.

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ich gehe von D = ℝ aus.

Die Gleichung kann man nicht explizit nach x auflösen.

f(x) = e3x - 9x

f '(x) = 3·e3x - 9

f "(x) = 9·e3x

f "(x) > 0 für alle x∈ℝ  →  Graph von f  ist linksgegrümmt  →  Gf hat höchstens 2 Nullstellen

Diese kann man zum Beispiel mit dem Newtonverfahren ziemlich genau näherungsweise bestimmen:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

xneu =  xalt - f(xalt) / f ' (xalt)

Startwert x = 0 :

xf(x)f '(x)
01-6
0,1666666670,148721271-4,053836188
0,2033532180,010362228-3,478376421
0,206332267,37235E-05-3,428807812
0,2063537613,86344E-09-3,428448438
0,2063537620-3,428448419


Starwert x =1 :
xf(x)f '(x)
111,0855369251,25661077
0,7837247383,44436661722,49366778
0,6305986830,95587992410,8938042
0,54285340,2108508516,289594365
0,5093296410,0249318754,826695926
0,5041642280,0005505284,614085746
0,5040449142,9068E-074,60921354
0,5040448518,17124E-144,609210965
0,50404485104,609210965

Bild Mathematik

Gruß Wolfgang
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