Matrix diagonalisierbar

Question

Abend, 
Ich bräuchte ein wenig Hilfe bei folgender Aufgabe: Wir haben eine Matrix A^nxn gegeben mit der Eigenschaft A=A²Nun lautet die Aufgabe, man soll zeigen, dass ein Eigenwert existiert und ausserdem die Matrix diagonalisierbar ist. 
Zum Aufgabenteil a) 
Es gilt ja  Ax=λx    mit x meinem Eigenvektor und λ meinem Eigenwert; wegen der Voraussetzung A=A² gilt zusätzlich A²x=λx
d.h es gilt:  A²x=A(Ax)=A(λx)=λλx       ausserdem gilt A²x=Ax=λxaus beiden Gleichungen folgt, dass λ entweder 1 oder 0 sein muss. Demnach ist die Existenz des Eigenwert bewiesen. 
Aber wie folgt hieraus die Diagonalisierbarkeit? Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank

Answer 1

Es gilt ja  Ax=λx    mit x meinem Eigenvektor und λ meinem Eigenwert;

Ich denke, du sollst zeigen, dass es ein Eigenwert gibt. Wenn du davon ausgehst,

ist das doch wohl nicht korrekt.

Dann  geht es vielleicht eher so:

Sei x ≠ 0_vektor  ein Element von IRⁿ .

Dann gibt es zwei Fälle:  


1. x ∈ Ker(A) , dann gilt  A*x = 0 = 0*x , also ist x ein

Eigenvektor zum Eigenwert 0.

2.   x ∉ Ker(A) , dann gilt  A*x ≠ 0-Vektor , aber wegen

A² = A gilt  A²*x = A*x

<==>        A ( A*x)  =  A*x  = 1*(A*x)    also

ist (wegen A*x  ≠ 0-Vektor )  dann  A*x ein Eigenvektor

zum Eigenwert 1.

Damit ist zugleich gezeigt, dass sowohl die Vektoren aus

Ker(A) , als auch die von Bild(A) Eigenvektoren sind, und wegen der

Dim-Gleichung   Dim(Ker(A) + Dim(Bild(A) = dim (IRⁿ)gibt es also eine

Basis aus Eigenvektoren und damit ist A diagonalisierbar.