Globale Näherungsformel von Laplace und de Moivre

Question

eine vertiefende Frage zur Annäherung kumulierter Wahrscheinlichkeiten:

Bei der Näherungsformel betrachtet man ja das Integral der Gauß'schen Glockenkurve.

Das erscheint mir logisch, wir wollen bei F(n;p;k) ja die Summe von Wahrscheinlichkeiten in einem Intervall haben.

Damit man sich nicht die komplizierte Aufleitung und Rechenarbeit antun muss, gibt es ja eine Tabelle mit φ(z)

Meine Frage richtet sich an dieses z bzw. die Stetigkeitskorrektur

z stellt die obere Integrationsgrenze dar : z= (k- μ + 0,5) / σ

Frage: Wie lässt sich diese Stetigkeitskorrektur erklären ? (bei stetigen Zufallsgrößen gibt es diese ja nicht)

Und unter welchen Umständen rechnet man - 0,5 ? ist das bei rechtsseitigen Intervallen, also P(X ≥k) = 1 - P(X≤k-1) der Fall ?

Ich denke eine Grafik einer Normalverteilung kann diesen Sachverhalt deutlich machen,

mfg

Luis

Answer 1

Überlege mal warum über die Näherung gerechnet wird:

P(X = k) = Φ((k + 0.5 - μ)/σ) - Φ((k - 0.5 - μ)/σ)

Und warum eigentlich in der Normalverteilung gilt

P(X = k) = 0

Zeichne das ruhig auch mal auf.

Comments

P(X=k) = 0 weil keine Punktwahrscheinlichkeiten mehr betrachtet werden, sondern Intervallwahrscheinichkeiten ? Und  P(X = k) = Φ((k + 0.5 - μ)/σ) - Φ((k - 0.5 - μ)/σ) gilt vermutllich aus dem selben Grund ?

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Nimm dir mal irgendeine Binomialverteilung und probiere es über die Näherung zu lösen. Ignoriere dabei mal die Regel von Moivre und Laplace, dass die Standardabweichung größer als 3 sein muss.

Und bitte zeichne es dir auch auf. Das macht vieles deutlicher.

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hab es mir jetzt so erklärt :

kommt auf die Defintion von k an:

P(X≤k) = Φ (( k - μ + 0,5 ) / σ)

Hier kann man k aus P(x≤k) übernehmen, die Addition von 0,5 lässt sich so erklären, dass bei diskreten Größen nicht jede beliebige reelle Zahl herauskommen darf und sich eine Zahl k in "Säulenform" in einem Diagramm ± 0,5 nach rechts/links erstreckt

- 0,5 kommt erst dann ins Spiel wenn man ein beidseitiges Intervall hat:

P(k1 ≤ X ≤ k2) = Φ (( k1 - μ + 0,5 ) / σ) - Φ (( k2 - μ - 0,5 ) / σ)

ODER

P(k1 ≤ X ≤ k2) = Φ (( k1 - μ + 0,5 ) / σ) - Φ (( (k2-1) - μ + 0,5 ) / σ)  

Hoffe ich habe das jetzt richtig überblickt, die Stetigkeitskorrektur mit - 0,5 ist nötig, um das gesuchte Intervall genauer beschreiben zu können, da sonst ein Teil der Säule nicht berücksichtigt würde.

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"dass bei diskreten Größen nicht jede beliebige reelle Zahl herauskommen darf und sich eine Zahl k in "Säulenform" in einem Diagramm ± 0,5 nach rechts/links erstreckt"

Ja. Genau das ist hier der Punkt.

Kurz es gilt zur Näherung

Näherung durch die Standardnormalverteilung bei σ > 3

P(X ≤ k) = Φ((k + 0.5 - μ)/σ)

P(X ≥ k) = 1 - Φ((k - 0.5 - μ)/σ)

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b + 0.5 - μ)/σ) - Φ((a - 0.5 - μ)/σ)

Das Minus kommt also immer drin vor, wenn ich eine linke Intervallgrenze habe. Das plus immer bei rechten Intervallgrenzen.