Anwendung der Formeln von De Moivre

Question

(a) Berechnen Sie \( (1-i)^{12}(1+i \sqrt{3})^{7} \)

(b) Rechnen Sie nach, dass Folgendes stimmt:

\( \cos 3 \phi=4 \cos ^{3} \phi-3 \cos \phi ; \quad \sin 3 \phi=3 \sin \phi-4 \sin ^{3} \phi \)

Answer 1

Aufgabe a)

Answer 2

b)

COS(3·x)

= COS(2·x + x)

Benutze: COS(a + b) = COS(a)·COS(b) - SIN(a)·SIN(b)

= COS(2·x)·COS(x) - SIN(2·x)·SIN(x)

Benutze: COS(2·a) = COS(a)^2 - SIN(a)^2

Benutze: SIN(2·a) = 2·SIN(a)·COS(a)

= (COS(x)^2 - SIN(x)^2)·COS(x) - (2·SIN(x)·COS(x))·SIN(x)

= COS(x)^3 - SIN(x)^2·COS(x) - 2·SIN(x)^2·COS(x)

= COS(x)^3 - 3·SIN(x)^2·COS(x)

Benutze: SIN(x)^2 = 1 - COS(x)^2

= COS(x)^3 - 3·(1 - COS(x)^2)·COS(x)

= COS(x)^3 - 3·COS(x) + 3·COS(x)^3

= 4·COS(x)^3 - 3·COS(x)

Mit dem SSIN funktioniert es eigentlich ähnlich. Probier es selbst mal und wenn du Probleme hast melde dich.

Comments

(1 - i)^12·(1 + i·√3)^7

= (√2·e^{- 45°·i})^12·(2·e^{60°·i})^7

= (64·e^{-540°·i})·(128·e^{420°·i})

= (8192·e^{-120°·i})

= 8192·(COS(- 120°) + SIN(- 120°)·i)

= - 4096 - 4096·√3·i

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Mit dem SSIN funktioniert es eigentlich ähnlich. Probier es selbst mal und wenn du Probleme hast melde dich.

Lach, ob der Fragesteller nach 3 Jahren daran noch Interesse hat? >:)

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Wohl eher nicht. Wer gräbt denn hier solch alte Fragen aus.

Answer 3

b)

berechne einmal e^{i3φ}

sowie (e^{iφ})^3 und leite die verlangte Beziehung durch Koeffizientenvergleich her.

Comments

Könntest du das einmal vormachen ?

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$$ e^{i3\phi}= (e^{i\phi})^3\\cos(3\phi)+isin(3\phi)=(cos(\phi)+isin(\phi))^3\\cos(3\phi)+isin(3\phi)=cos^3(\phi)-3sin^2(\phi)cos(\phi)+i(3sin(\phi)cos^2(\phi)-sin^3(\phi))\\cos(3\phi)=cos^3(\phi)-3sin^2(\phi)cos(\phi)\\cos(3\phi)=cos^3(\phi)-3(1-cos^2(\phi))cos(\phi)\\cos(3\phi)=4cos^3(\phi)-3cos(\phi)\\sin(3\phi)=3sin(\phi)cos^2(\phi)-sin^3(\phi)\\sin(3\phi)=3sin(\phi)(1-sin^2(\phi))-sin^3(\phi)\\sin(3\phi)=3sin(\phi)-4sin^3(\phi)$$

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Vielen lieben Dank.

Jetzt verstehe ich wie du das meintest. Eigentlich hätten mir die beiden ersten Zeilen gelangt.