Kreisgleichung-, Schnittwinkel, Gleichung der Tangente finden/ teilweise gelöst

Question

Ich habe folgende Fragen zur Kreisgleichung:

1.) Berechne die Maße der Schnittwinkel der Geraden g: x+ 5y = 19 und des Kreises k: ( x-1)² + ( y-1)²= 13.
 

Die Schnittpunkte sind: S= ( -1/4) und S ( 4/3)
Wie berechnen sich die Schnittwinkel?? Ich habe das noch nie gemacht. Vlt könnte mir das jemand erklären und vorrechnen. Muss das meistens erst vor mir sehen, damit ich es verstehe.

 

2.) Durch den Punkt P ( -7/4) sind Tangenten an den Kreis k zu legen, der den Mittelpunkt M  ( 3/-6) und den Radius r= Die Wurzel aus 20 hat. Geben sie Gleichungen der Tangenten an.

Hier habe ich eine Hilfsgerade ( Polare) erstellt durch die Spaltform und bekomme das Ergebnis: p: x-y= 7. Das stimmt auch, soweit ich weiß. Wie gebe ich nun Gleichungen der Tangenten an? Lösung ist gegeben: t1: x+ 2y= 1; t2: 2x + y = -10. Wie gelange ich zu diesem Ergebnis, und warum? Bitte so einfach wie möglich erklären.

 

3.) Kreistangente: Berechnen Sie die unbekannte Koordinate des Punktes P, der auf dem Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius R liegt ( 2 Lösungen)! Stellen Sie dann Gleichungen der Tangenten auf, die den Kreis in den gefundenen Punkten berühren! M = ( 4/.2), r= Wurzel aus 40, P liegt auf der ersten Achse.

4.) Punkte finden

a.) Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M ( 4/-1), der die Gerade g: X = ( 4/-6) + t* ( 2/-1) berührt! 

b.)Geben Sie eine Gleichung des Kreises an, der durch die Punkte A und B geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g liegt! A ( 4/0), B ( 0/-6), g:X= ( -3/-1) + t ( -2/1)

 

VIELEN DANK :))

Answer 1

1.) Berechne die Maße der Schnittwinkel der Geraden g: x+ 5y = 19 und des Kreises k: ( x-1)² + ( y-1)²= 13.

Normalenvektor der Geraden ist [1, 5]

Richtungsvektor vom Schnittpunkt zum Kreismittelpunkt [-1, 4] - [1, 1] = [-2, 3]

Schnittwinkel der Vektoren

α = arccos(([1, 5] * [-2, 3]) / (|[1, 5]| * |[-2, 3]|)) = 45 Grad

Skizze

Comments

2.) Durch den Punkt P ( -7/4) sind Tangenten an den Kreis k zu legen, der den Mittelpunkt M  (3/-6) und den Radius r = Die Wurzel aus 20 hat. Geben sie Gleichungen der Tangenten an.

Nach. Die Geradengleichungen durch den Punkt (-7, 4) lauten

y = a * (x + 7) + 4 oder

a·x - y + 7·a + 4 = 0

Damit lautet die Abstand zu einem Punkt 

|(a·x - y + 7·a + 4)|/√(a^2 + 1) = d
10·|(a + 1)|/√(a^2 + 1) = √20
a = - 1/2 ∨ a = -2

Damit lauten die Tangenten

t1(x) = -1/2*(x + 7) + 4 = 0.5 - 0.5·x
t2(x) = -2*(x + 7) + 4 = - 2·x - 10

Skizze

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3.) Kreistangente: Berechnen Sie die unbekannte Koordinate des Punktes P, der auf dem Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius R liegt ( 2 Lösungen)! Stellen Sie dann Gleichungen der Tangenten auf, die den Kreis in den gefundenen Punkten berühren! M = ( 4/.2), r= Wurzel aus 40, P liegt auf der ersten Achse.

Kreisgleichung aufstellen
y = 0 setzen wegen Schnittpunkten mit der x-Achse
Nach x Auflösen und 2 Lösungen erhalten.

Durch beide Punkte eine Tangente legen. Den Punkt kennt man, die Senkrechte Steigung dazu ist die Steigung zwischen Punkt und Mittelpunkt des Kreises.

Probier es zunächst mal alleine. Wenn du Fragen hast melde dich.


4.) Punkte finden

a.) Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M ( 4/-1), der die Gerade g: X = ( 4/-6) + t* ( 2/-1) berührt!

Abstand der Geraden von M bestimmen. Das ist der Radius r.
Nun die Kreisgleichung aufstellen.

b.)Geben Sie eine Gleichung des Kreises an, der durch die Punkte A und B geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g liegt! A ( 4/0), B ( 0/-6), g:X= ( -3/-1) + t ( -2/1)

Mittelsenkrechte von AB mit G schneiden. Das ist der Mittelpunkt M des Kreises.
Abstand MA ist Radius des Kreises
Jetzt die Kreisgleichung aufstellen

Probier es zunächst mal alleine. Wenn du Fragen hast melde dich.

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Bei 1.)
Schnittwinkel der Vektoren

α = arccos(([1, 5] * [-2, 3]) / (|[1, 5]| * |[-2, 3]|)) = 45 Grad
Wie tippt man das in den Taschenrechner ein? Ich bekomme da 90 Grad raus. Eingestellt ist mein TR auf DEG, die Multiplikation habe ich gelöst, müsste also das Ergebnis nur noch eintippen

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α = arccos(([1, 5] * [-2, 3]) / (|[1, 5]| * |[-2, 3]|))

α = arccos(13 / (√26 * √13))

α = arccos(√2/2)

α = 45

Du solltest das Skalarprodukt zweier Vektoren bestimmen können und auch die Länge eines Vektors bestimmen können.