Geometrie: Trapez und Rechteck

Question

ich versuche mich mal wieder an einer komplizierten Rechenaufgabe aus meiner Mangageschichte, die ich momentan lese.

Ich habe hierfür in einem Paint die obige Skizze angefertigt.

Also ABCD ist ein gleichschenkliges Trapez. BCFG ist ein Rechteck.

Die Frage die es zu lösen gilt, ist die Fläche des blau angemalten Vierecks bzw. ob dieses Viereck einen Inkreis hat?

Ich bin recht ratlos, wie sich das berechnen lässt und bin nun auf der Suche nach Ratschläge.

Großes für jede Hilfe

Comments

Bis jetzt habe ich mir ausgerechnet...

AD = 30m, CE = 12,99m, BD = 25,98m

kann das soweit stimmen? ich hätte geglaubt AD halbiert CF? hab ich wo einen Rechenfehler?

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Bist Du sicher, dass es \(AD=BG\) und nicht \(AD=CG\) heißt? Im zweiten Fall wäre das blaue Viereck ein Drache mit rechten Winkeln 'in den Ohren' und hätte demzufolge auch einen Inkreis.

BTW.: Deine Ergebnisse sind korrekt \(AD=2\cdot AB\), \(CE=0,5AB\cdot\sqrt{3}\) und \(BD=2\cdot CE\) - und nein \(AD\) halbiert \(CF\) nicht, jedenfalls nicht, wenn \(AD=BG\) ist.

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Oje, ja ich habe es nochmal nach gelesen, es heißt AD = CG.

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Habe jetzt eine Skizze des verbleibenden Vierecks gemacht, also mit etwas Überlegen hab ich es geschafft mir EK = 4,33m ausgerechnet, aber ich scheitere an den anderen Strecken, hat jemand einen Tipp?

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.. es ist viel einfacher: Benenne den Schnittpunkt von \(AD\) mit \(CG\) mit \(M\) und schlage um \(M\) einen Kreis mit dem Radius \(AB\), dann geht dieser Kreis durch die 6 Punkte A, B, C, D, F und G. Es handelt sich hier um ein regelmäßiges 6-Eck.

Damit ist auch das Dreieck \(CDM\) gleichseitig und die Geraden durch \(BD\) und \(CE\) fallen mit den Symmetrieachsen des Dreiecks zusammen. D.h. das blaue Viereck ist 1. ein Drache (folglich hat es einen Inkreis) und 2. hat es die Fläche \(F=\frac{1}{3}CDM=\frac{1}{12}(AB)^2\sqrt{3} \approx 32,48\text{m}^2\).

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Vielen Dank für die Antwort, also so einfach hätte ich das nicht geschafft.

Ich hab mir die Seiten des Vierecks etwas umständlicher hergeleitet, würde mich interessieren, ob das auch korrekt war. Also EK habe ich ausgerechnet, indem ich die Seite CK des Dreiecks BCK ausgerechnet habe, und diese dann von CE abgezogen.

Für EI habe ich den Strahlensatz angewandt, (war das richtig?), also CG/CF = CI/CE was mir die nötigen Angaben für das Dreieck CEI gebracht hat.

Answer 1

AD lässt sich aus den gegebenen Größen berechnen. Lege dann die Skizze in ein Koordinatensystem mit C(0;0) und CB auf der y-Achse. Stelle die Gleichungen der Geraden auf, welche die blaue Fläche begrenzen. Berechne damit die Gleichungen der Halbierenden der Innenwinkel der blauen Fläche. Berechne jeweils den Schnittpunkt zweier Winkelhalbierender und schau, ob das immer der gleiche Punkt ist.