Lösungsmenge von Wurzel(4x^2-3x-5)-2x = 0 bestimmen

Question

bei meinem Taschenrechner kommt 'false' raus wenn ich es eingebe aber wenn ich es selber händisch rechne kommt -5/3 raus? bitte um Hilfe

wurzel(4x^2-3x-5)-2x=0

Answer 1

Hi,

√{4x^2-3x-5} = 2x   |quadrieren

4x^2-3x-5 = 4x^2

-3x-5 = 0

-3x = 5

x = -5/3

Damit sind wir aber noch nicht fertig. Wegen des Quadrierens muss eine Probe gemacht werden.

Setzen wir das oben ein, sehen wir sofort, dass rechts etwas negatives steht, was die Wurzel aber nicht erlaubt.

Es gibt also keine Lösung der Gleichung und es ist L = { }.

Grüße

Answer 2

Wurzeln sind nicht für beliebige reelle Zahlen definiert. Das siehst du z.B. am grossen Loch im blauen und roten Graphen hier: 

~plot~ sqrt(4x^2-3x-5)-2x; sqrt(4x^2-3x-5);2x ~plot~

Von Hand kommst du oft auf eine Scheinlösung, wenn du mit einem Term, der x enthält, multiplizierst.

Die Scheinlösungen kannst du wieder streichen, wenn du die Probe gemacht und einen Widerspruch gefunden hast. 

Answer 3

Wenn du eine Geichung quadrierst, vergrößerst du möglicherweise die Anzahl ihrer Lösungen (Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung). Deshalb musst du für jede Lösung noch die Probe machen.  Wenn du x= -5/3 in die gegebene Gleichung einsetzt, siehst du, dass es keine Lösung der Gleichung ist. Damit gibt es keine Lösung. Das wird mit "false" gesagt.

Comments

könnten Sie mir sagen was bei Ihrer Probe rauskommt? bei mir kommt nämlich eine positive Zahl raus

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Links vom Gleichheitszeichen kommt 20/3 heraus (und das ist eben nicht =0).

Answer 4

Dass die Scheinlösung nach der Probe nicht 0 ergibt, ist ja leicht herauszubekommen, ABER wie sieht es mit komplexen Zahlen aus, denn diese füllen oft die "Lücken" {für Wurzelfunktion sqrt(z) kein Problem; z=x + y*i ; Betragsfunktion deshalb, um keine 2 Diagramme für Real- & Imaginärteil getrennt betrachten zu müssen }:

Auch mit komplexen Zahlen wird f(z)=0 (also der Boden der 3D-Grafik ) nicht erreicht.

Dann Versuche mit Grenzwert:

lim abs( + sqrt( 4 z^2 -5 - 3 z)-2 z),z->∞ ergibt 3/4

(ohne abs natürlich -3/4 )

und negativer Grenzwert ∞

Grenzwert um 0:

wird der Imaginärteil nicht 0 ...

 -> also auch hier keine Möglichkeit, f(z) zu 0 zu bekommen.