Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: ∏_{k=2}^{n} (1-(1/k²)) = (n+1)/(2n)

Question

Aufgabe :

Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion:

∏ ⁿ _k=2 (1-(1/k²)) = (n+1)/(2n) für alle n ∈ ℕ mit n ≥ 2

dann habe ich

IA: für n=2

∏ ² _k=2  (1-(1/k²)) =3/4= (2+1)/(2*2)=3/4 ✓

IV: Die Aussage ∏ ⁿ _k=2  (1-(1/k²)) = (n+1)/(2n) gilt für ein n ∈ ℕ mit n ≥ 2

IS: (n→n+1)

∏ ⁿ⁺¹ _k=2  (1-(1/k²) ) =(1-(1/ (n+1)²) ) ∏ ⁿ⁺¹ _k=2  (1-(1/k²) )

                                    ^IV =(1-(1/ (n+1)²) ) ( (n+1)/(2n) ) =

Und ab hier hänge ich wie komme ich weiter.

Answer 1

.... ^IV =(1-(1/ (n+1)²) ) ( (n+1)/(2n) )  ist richtig

               1-(1/ (n+1)² auf einen Bruch bringen ,   1 - 1/A = (A - 1) / A

=  ((n+1)² - 1) /  (n+1)²  *  (n+1) / (2n)

= ( n² +2n +1 -1)  /  (n+1)² *  (n+1) / (2n)   

                1.Klammer zusammenfassen und n ausklammern

= n * (n+2) * (n+1) / [ (n+1)² * 2n ]    |   Kürzen 

=  (n + 2) / (2·(n + 1))

Gruß Wolfgang

Answer 2

Multipliziere ∏ ⁿ _k=2  (1-(1/k²)) = (n+1)/(2n) auf beiden Seiten mit (1-1/(n+1)², dann erhältst du links ∏ ⁿ⁺¹ _k=2  (1-(1/k²) ). und rechts hoffentlich etwas, das man zu (n+2)/(2(n-1)) umformen kann.

Comments

> Multipliziere ∏ ⁿ _k=2  (1-(1/k²)) = (n+1)/(2n) auf beiden Seiten mit (1-1/(n+1)²

hat der FS schon getan. und bei dem Rest:

Warum schreibst du nicht gleich "Löse die Aufgabe selbst" ? 

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wohl eher so:

und rechts hoffentlich etwas, das man zu (n+2)/(2(n + 1)) umformen kann.

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Du hast recht. Ich hab mich mal wieder verschrieben. Passiert mir leider zu oft.

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Kenne ich. Such is Life.

Answer 3

Du musst nur weiter umformen

=(1-(1/ (n+1)²) ) ( (n+1)/(2n) )

=(  (n+1)² / (n+1)² - ( 1/ (n+1)²) *   ( (n+1)/(2n) )

=(  ( n² + 2n + 1  - 1 ) / (n+1)²)    *   ( (n+1)/(2n) )

=(  ( n² + 2n  ) / (n+1)²)    *   ( (n+1)/(2n) )

=(  ( n² + 2n  ) * (n+1 )  )  /  (  (n+1)²   *(2n) )     |    (n+1) kürzen !

=   ( n² + 2n  )    /  (  (n+1)   *(2n) )      im Zähler n auskl.

=( n* ( n + 2 ) )   /  (  (n+1)   *(2n) )       n kürzen


=     ( n + 2 )    /  (  (n+1)   * 2  ) 

und das kommt bei der Formel auch auf der rechten Seite für n+1 raus.

q..e.d.