3^n > 2n^2 mit vollständiger Induktion zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

$$ 3^{n}>2 n^{2} \quad \forall n \in \mathbb{N}_{0} $$

Problem/Ansatz:

IA: n=0

3^0 > 2*0^2 = 1 > 0  ✓

IS: n-> n+1

3^(n+1) = 3 * 3^n > 3 * 2*n^2 = 6*n^2

                       ^(IV)

Soweit bin ich nun mit der Aufgabe gekommen, nun ist mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich nun auf 2n^2 +4n +2 komme (Rechter Term mit n+1 für n eingesetzt) oder ob mein bisheriger Ansatz dann überhaupt stimmt.

Answer 1

Hallo

 6n^2=2n^2+2n^2+2n^2 un für n≥2 gilt 2n^2>4n und 2n^2>2

Gruß lul

Comments

Aber wenn es nur für n>= 2 gilt ist des dann zu 100% richtig?

Weil wenn wir bei n=0 beginnen, müsste die Bedingung dann nicht auch für n=1 bewiesen werden, wenn wir es zeigen wollen, weil n=0 und dann n+1 =1?

Weil in der Aufgabenstellung steht ja auch ℕ inkl. 0 und dort fangen wir ja an.

Danke schonmal, und Grüßle :^)

---

hallo

nein für n=1 und 2 musst du es einzeln zeigen ,  der Anfang bei n=1 wäre auch besser gewesen ,

Gruß lul

---

6n^2=2n²+2n²+2n² und für n≥2 gilt 2n² > 4n und 2n²>2

Da sollte wohl 2n² ≥ 4n stehen

für n=1 und 2 musst du es einzeln zeigen

Das reicht ja auch für n≥2  (und 3¹⁺¹ >  2·(1+1)² gilt ja sowieso):

2n² + 2n² + 2n² > 2n² + 4n + 2 = 2·(n+1)²