Gleichung mit Wurzel lösen... Was mache ich falsch?

Question

Hallo  :)

Ich habe folgende Gleichung: √(5-x² ) - √( 4-x²) = 0,5

Die Lösung soll -1,85 sein....

Kann mir bitte jemand sagen was ich falsch mache?

5-x²  - 4-x²  =  0,25

-2*x²  +1  = 0,25

-2x²  = -0,75

x² =  0,375

x = 0,612

schon mal vielen Dank  :)

Answer 1

 

> Kann mir bitte jemand sagen was ich falsch mache? 

Beim Quadrieren einer Summe (Differenz) darf man nicht einfach die einzelnen Glieder quadrieren:

√(5-x² ) - √( 4-x²) = 0,5    | ²

[  √(5-x² ) - √( 4-x²) ] ² = 0,25

hier musst du die 2. binomische Formel   [ a - b ]² = a² - 2ab + b² anwenden:

5-x² - 2 * √(5-x² ) * √( 4-x²) + 4-x² = 0,25

Dann kannst du die beiden Wurzeln wegen √a * √b = √(a*b)  zu einer zusammenfassen, diese isolieren und noch einmal Quadrieren.

.....

Gruß Wolfgang

Comments

... :)  Leider komme ich immer noch nicht auf das richtige Ergebnis...

Muss ich jetzt nochmal hoch 2 nehmen um die einzelnen Wurzeln weg zu bekommen?

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oh danke ich habe das was du unten noch geschrieben hast anscheinend überlesen, sorry

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Es tut mir wirklich leid, aber kannst du mir noch mal helfen? Ich habe es jetzt drei mal noch versucht....aber das Ergebnis stimmt immer noch nicht.  :(

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Einfacher wird es, wenn du die Gleichung umstellst bevor du quadrierst:

√(5-x² ) - √( 4-x²) = 0,5        | + √( 4-x²)

√(5-x² ) = 0,5 + √( 4-x²)        | ()²

5-x² = (0,5 + √( 4-x²))²

5- x² = 0,25 + 2*0,5*√( 4-x²) + 4-x²

Nun musst du die Wurzel isolieren und nochmal quadrieren.

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5-x² - 2 * √(5-x² ) * √( 4-x²) + 4-x² = 0,25 

9 - 2x² - 2 * √[ (5-x ² ) *( 4-x²) ]  = 0,25    | - 0,25  | + 2*√

8,75 - 2x² =  2 * √( (5-x ² ) *( 4-x²) )    | : 2 

4,375 - x² = √( (5-x² ) *( 4-x²) )

x⁴ - 8.75·x² + 19.140625 = (5-x² ) * ( 4-x²)

x⁴ - 8.75·x² + 19.140625  =  x⁴ - 9·x² + 20  |  - x⁴ | + 9x² | -20 

 0,25·x² - 0.859375 = 0

x² = 3.4375 = 55/16   | √

x ≈ ± 1.854049621   ( genauer:  ± √55 / 4 ) 

wegen des Quadrierens ist für jede Lösung eine Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung nötig, da stimmt dann wohl nur x  ≈ - 1.854049621

Aber Ulla hat recht, mit ihrer Umstellung rechnet es sich wohl einfacher.

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Führt man hier die Probe durch (oder sieht genau hin), erkennt man, dass beide Ergebnisse

x₁ ≈ +1,85 und x₂ ≈  -1,85   Lösungen sind.

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Hallo Ulla,

Du hast natürlich recht, beides sind Lösungen, weil das Minuszeichen wegfällt.

Ich hatte mich (verwerflicherweise :-) ) ohne Nachprüfung einfach nur auf die Lösungsangabe in der Aufgabenstellung verlassen.

Answer 2

Dein Fehler ist, dass du da eine Differenz aus zwei Wurzeln hast und das Quadrieren einfach auf Minuend und Subtrahend anwendest. Das darf man aber nicht. Wenn du die linke Seite der Gleichung quadrieren willst, musst du die 2. binomische Formel verwenden.