Funktion f(x)=((x-1)³ * (3x+5))/12 umwandeln, damit ich mit der Kurvendiskussion anfangen kann

Question

Hallo Community,

ich habe eine Matheaufgabe bekommen die wie folgt heißt:

(x-1)³ * (3x+5) / 12 (Soll heißen alles geteilt durch 12 nicht die hintere Klammer, sondern alles!

Mit dieser Funktion soll ich eine Kurvendiskussion vollziehen, doch davor muss ich die Funktion ja so umformen, dass ich damit beginnen kann. Das kann ich nicht und brauche  Hilfe.

Kann mir bitte jemand weiter helfen?

Answer 1

Hi,

 

Nullpunkte:

Hier brauchst Du nur den Zähler zu betrachten. Der ist schon in Linearfaktoren zerlegt. Die Nullstellen also direkt ablesbar:

N₁(1|0) und N₂(-5/3|0)

 

Extrempunkte:

Ausmultiplizieren:

f(x)=x^4/4-x^3/3-x^2/2+x-5/12

f'(x)=x^3-x^2-x+1

f''(x)=3x^2-2x-1

f'''(x)=6x-2

 

f'(x)=(x-1)^2(x+1)=0

-> x_1,2=1 und x₃=-1

Setzt man das in f''(x) ein, so ist f''(x_1,2)=0 und f''(x₃)>0.

Es gibt also nur einen Extrempunkt (Minimum) bei f(x₃)=-4/3.

M(-1|-4/3)

 

Wendepunkte:

Wir ahnen schon, dass x=1 ein Wendepunkt sein könnte. Ein Sattelpunkt. Das mit f'''(x)≠0 überprüfen, was aich der Fall ist.

Zudem finden wir für f''(x)=3x^2-2x-1=0 noch eine weitere Lösung für x₄=-1/3.

Damit haben wir zwei Wendepunkte bei

Sattelpunkt S(1|0) und W(-1/3|-0.79)

 

Mal als Überblick :).

Grüße

Comments

Ich habe die Fkt. ausmultipliziert und die Klammern etc. aufgelöst und kam auf


f(x)=5/12x³-5/12


ist das richtig? ich muss wissen ob es richtig ist :S

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Nein ist es nicht. Hatte es Dir ja schon gezeigt:

f(x)=x⁴/4-x³/3-x²/2+x-5/12

 

Probiere es Schritt für Schritt:

(x-1)^2

Dann:

Ergebnis*(x-1)

Dann:

Ergebnis*(3x+5)

Dann:

Ergebnis/12

 

;)

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!


Und wie könnt ich die Nst. rechnerisch bestimmen?


Substitutionsverfahren geht ja nicht da Exponenten gerade und ungerade sind und Faktorisierung auch nicht da es ein Absolut glied gibt

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Es ist doch schon faktorisiert worden :).

Direkt am Anfang. Multipliziere einfach die Funktion selbst mit 12, dann verbleibt nur der Zähler. Der ist schon in Faktordarstellung. Man kann direkt die Nullstellen ablesen.


Siehst Du es nun?

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Du kennst eine Nullstelle (x=1) der ersten und zweiten Ableitung, wegen dem gefundenen Terrassenpunkt.
Daher drängt sich in g ' ( x) die Polynomdivision durch (x-1) auf.

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Mein Lehrer hat mir die Polynomdivision anders beigebracht:

in x eine Zahl einfügen und wenn 0 rauskommt, ist das die erste Nst. doch kommt, wenn ich 1 in die Fkt. einsetze nicht 0 raus

Answer 2

Also mal der Anfang.

Die 12 im Nenner kannst du einfach als Faktor (1/12) vor die Funktionsgleichung schreiben.

f(x) = (x-1)³ * (3x+5) / 12

= 1/12*  (x-1)^3 * (3x + 5)

Nun die Nullstellen ablesen: x1= 1 ist eine dreifache Nullstelle und x2= - 5/3 ist eine einfache Nullstelle.

Dreifache Nullstelle heisst automatisch, dass der Graph der Kurve in x=1 eine horizontale Tangente und einen Vorzeichenwechsel hat. Daher liegt ist der Punkt P(1|0) automatisch Wendepunkt und Terrassenpunkt.

Irgendwo hat die Funktion, da es sich um ein Polynom 4. Grades handelt eine Extremalstelle. Um die zu finden solltest du f(x) ableiten. Da kommst du vermutlich nicht darum herum

(x-1)³ * (3x+5) auszumultiplizieren.

Rechne aber auf keinen Fall mit Brüchen weiter.

Es ist viel einfacher

g(x) = 12*f(x) = (x-1)³ * (3x+5) zu untersuchen um die Extremalstelle zu finden. (überleg dir noch, warum das so ist)

Für den y-Wert der Extremalstelle musst du dann aber wieder in f(x) einsetzen.

Comments

Ich habe die Fkt. ausmultipliziert und die Klammern etc. aufgelöst und kam auf

f(x)=5/12x³-5/12

ist das richtig? ich muss wissen ob es richtig ist :S

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Nein. Das sollte (gekürzt):

f(x)=x⁴/4-x³/3-x²/2+x-5/12 =

= 3x^4/12 - 4x^3/12 - 6x^2/12 +12x/12 - 5/12 geben.

g(x) = 3x^4 - 4x^3 - 6x^2  +12x  - 5