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üben gerade Analysis und haben schwierigkeiten mit der Aufgabe:

$$\sum_{\infty}^{n=1}{ \frac{ -1^{ n } }{ log (n) } }$$

Ich vermute man müsste für gerade und ungerade prüfen.

Heißt also...

$$ \sum_{ \infty }^{ n=1 }{ \frac{ -1^{ n } }{ log (n) } } := c_{ n }$$

für gerade $$c_{ n } =\frac{ -1 }{ log(n) }$$

für ungerade $$c_{ n }=\frac{ 2 }{ log(n) }$$

Sind jetzt alles nur Vermutungen in der Gruppe. Ist der Ansatz richtig oder wie müsste man weiter machen?

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bei alternierenden Reihen bietet es sich an, das Leibnitz Kriterium zu überprüfen.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

Zu überprüfen ist also,

ob

$$  { a }_{ n}=\frac { 1 }{ log(n) }$$

eine monotone Nullfolge ist.

Beachte allerdings, dass die Summe nicht bei n=1 starten kann, denn log(1)=0 und Division durch 0 ist nicht definiert.

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Ich bin mir nicht sicher, ob n=1 eventuell ein fehler beim Abschreiben war. Ist es dennoch so lösbar?

Aber mal weiter:

Der Zähler ist ja 1. Der Nenner wird, auch wenn nur schleppend, immer größer. Reicht das als Begründung, zu sagen, dass 1/log(n) dann gegen 0 geht?

Zu prüfen wäre danach an ≥ an+1 . Das wäre ja auch gegeben, da bei steigendem n immer kleiner wird.

Zu durcheinander? Wie würde man weiter machen? Mathematisch korrekt?

Danke für die Hilfe.

Ja, als Begründung reicht es, dass der Logarithmus eine monoton wachsende Funktion ist. Demnach ist 1/log(n) eine monoton fallende Funktion mit Grenzwert 0, die Reihe konvergiert also nach dem Leibnitz-Kriterium.

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