Konvergenz der Reihe 1/log^5(k)

Question

Ich möchte untersuchen ob $$ \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{log^5(k)}} $$ konvergiert.

Ich nehme an, dass die Reihe divergiert und suche nach einem Minoranten. Finde leider nichts passendes.

Answer 1

die erste Minorante, die ich prüfen würde, ist 1/k

Zu untersuchen ist also, ob

1/log^5(k)>1/k, bzw. log^5(k)<k gilt.

Geht man von der Definition der e-Funktion aus, so ergibt sich

e^{k^[1/5]}=1+k^{1/5} +[k^{1/5}]^2 /2+.... > k^{1/5}, da k positiv ist

Logarithmieren liefert dann

k^{1/5}>log(k)/5

5k^{1/5}>log(k)

5^5 k>log^5(k)

1/(5^5 k)<1/log^5(k)

Hoffe ich hab keinen Fehler drin ^^

Answer 2

Von einem gewissen k an ist  ln⁵(k) < k     #

also   1 /   ln⁵(k)    >   1 / k

Und von da an ist  1/k eine divergente Minorante.

Zum Nachweis von # betrachte ich den Grenzwert

von   ln⁵(k)  /  k    für k gegen unendlich und zeige, dass der

0 ist, dann ist natürlich irgendwann für alle größeren k

auch   ln⁵(k) < k      erfüllt.

Dass der Grenzwert 0 ist, zeigt mehrfache

Anwendung der Regel von de'Hospital:

ln⁵(k)  /  k   ist für k gegen unendlich vom Typ  ∞ / ∞ ,

also   de'Hospital anwendbar gibt

5*ln⁴(k)   *  1/k     /  1    =   5*ln⁴(k)    /  k  

ist wieder der gleiche Typ, also nochmal

20*ln³(k)   *  1/k     /  1    =   20*ln³(k)    /  k   etc.

Answer 3

Merkregel: Fuer \(x\to\infty\) waechst \(\log x\) langsamer als jede (noch so kleine) Potenz von \(x\). Hier also $$\log k<k^{1/10}\quad\text{oder}\quad(\log k)^5<\sqrt{k}\quad\text{fuer grosse $k$}.$$

Comments

Also gilt$$ 0 \leq \frac{1}{\sqrt{k}} \leq \frac{1}{log(k)^5} $$Und da alle Reihen der Form$$ \sum_{k=1}^{\inf}{\frac{1}{{a_k}^c}} $$ mit $$ c \leq 1 $$ divergieren, divergiert auch meine Reihe (da c=1/2)