Phasenportrait/Lösungskurve zeichnen

Question

ich beschäftige mich gerade mit dem Thema Phasenportrait bei DGLen. Ich habe versucht mich etwas einzulesen mithilfe von Google, aber wirklich verstanden habe ich es nicht.

Das meiste was ich gefunden habe bezieht sich auf DGL-Systeme der Form x'=Ax. Da ist mir das vorgehen mehr oder weniger verständlich, allerdings trifft das nicht auf meinen Fall zu. Alle Beispiele, zu denen ein Phasenporträit zu einer DGL oder zu einem DGL-System gezeichnet wurde, waren ohne Erklärung, so dass ich nachher genauso schlau wie vorher war.

Gibt es eine Anleitung oder ähnliches, die mir erklärt wie ich so ein Phasenportrait zeichne ?

Vielleicht kann mir das auch jemand anhand folgendem Beispiel erläutern: y'= (xy)/4 -1

Answer 1

Phasenportraits zeichnet man für autonome Dgln \(\dot{x}=f(x)\) in 2D (oder eventuell noch in 3D). Eine Lösung \(x=x(t)\) kann man als Parameterdarstellung einer ebenen Kurve deuten. Jede solche Kurve (\(t\in(-\infty,\infty)\)) ist ein Bahnkurve. Wenn man das Blatt mit solchen Kurven voll macht, hat man ein Phasenportrait. Wenn man wissen will, wo eine Lösung mit der Zeit hingeht, dann waehlt man eine Kurve durch den Anfangswert und folgt dieser in der Richtung zunehmender Zeit.

Beispiel: \(\dot{x}=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-2\end{pmatrix}x\)

Die Allgemeine Lösung ist \(x_1=c_1e^{-t}\), \(x_2=c_2e^{-2t}\) oder \(x_2=cx_1^2\), falls \(c_1\ne0\). Die Bahnkurven sind also im Wesentlichen Parabelaeste. Zeichne mal.