Hallo Silvia,
Die Ableitung von f(x)=(x2-e*x)*ln(x)
ist f '(x) = (2·x - e) ·LN(x) + x - e (hast du also richtig)
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> Doch wenn ich diese Gleichung gleich null setze, komme ich überhaupt nicht weiter.
Leider ändert das nichts daran, dass du dann f '(x) = 0 mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren) lösen musst, wenn du dir nicht von einem geeigneten Rechner helfen lassen darfst:
Newtonverfahren:
Näherungslösung der Gleichung f(x) = 0
Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel
xneu = xalt - f(xalt) / f ' (xalt)
In unserem Fall müssen wollen wir f '(x) = lösen, müssen also in der Formel f durch f ' und f ' durch f " ersetzen:
[ f "(x) = 2·LN(x) + (3·x - e) / x ]
mit Startwert x = 0,5 :
x | f(x) | f '(x) |
0,5 | -1,027259624 | -3,822858018 |
0,231284913 | 0,815602164 | -11,68116769 |
0,301106885 | 0,122720335 | -8,42821087 |
0,315667548 | 0,003772377 | -7,917348592 |
0,316144018 | 3,81224E-06 | -7,901353847 |
0,3161445 | 3,90221E-12 | -7,901337673 |
0,3161445 | 0 | -7,901337673 |
mit Startwert 1:
x | f(x) | f '(x) |
1 | -1,718281828 | 0,281718172 |
7,099293557 | 26,8823559 | 6,537095867 |
2,987015498 | 3,831417704 | 4,278516739 |
2,091514104 | 0,454051426 | 3,176104745 |
1,948555523 | 0,016656922 | 2,939152626 |
1,94288827 | 2,80182E-05 | 2,929258098 |
1,942878705 | 8,00298E-11 | 2,929241364 |
1,942878705 | 0 | 2,929241364 |
weitere Nullstellen gibt es nicht, was dir das Verfahren aber leider nicht verrät :-)
Wegen D = ℝ
+ ist aber f '''(x) = 2/x + e/x^2 > 0 für alle x → f ' linksgekrümmt, f ' kann also höchstens 2 Nullstellen haben.
Der Graph von f ' bestätigt die Ergebnisse:
Gruß Wolfgang