Bestimmen Sie für die natürliche Logarithmusfunktion die Ableitung an der Stelle x = 10, …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die natürliche Logarithmusfunktion

a) die Ableitung an der Stelle x = 10,

b) den Schnittpunkt der Tangente an der Stelle x = 1 mit der y-Achse,

c) den x-Wert, bei dem der Funktionswert 100 ist.

Problem/Ansatz:

Das Thema, welches diese Aufgaben befasst, müssen wir uns in unserem Kurs als EVA Aufgabe selber erarbeiten und erlernen, aber ich verstehe das Thema einfach nicht und habe keinerlei Ahnung, wie ich hier vorangehen soll oder wie ich rechnen soll. :(

Answer 1

Bestimmen Sie für die natürliche Logarithmusfunktion

a) die Ableitung an der Stelle x = 10,

f(x) = ln(x)
f'(x) = 1/x
f'(10) = 1/10 = 0.1

b) den Schnittpunkt der Tangente an der Stelle x = 1 mit der y-Achse,

t(x) = f'(1) * (x - 1) + f(1) = x - 1
t(0) = -1 → (0 | -1)

c) den x-Wert, bei dem der Funktionswert 100 ist.

f(x) = ln(x) = 100 → x = e^100

Comments

Hier eine Antwort von unserem Freund ChatGPT:

Für die natürliche Logarithmusfunktion \( f(x) = \ln(x) \) bestimmen wir die gefragten Werte wie folgt:

### a) Die Ableitung an der Stelle \( x = 10 \)

Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion \( f(x) = \ln(x) \) ist \( f'(x) = \frac{1}{x} \).

Für \( x = 10 \) ergibt sich:
\[ f'(10) = \frac{1}{10} \]

### b) Der Schnittpunkt der Tangente an der Stelle \( x = 1 \) mit der y-Achse

Zunächst berechnen wir den Funktionswert und die Ableitung an der Stelle \( x = 1 \):
\[ f(1) = \ln(1) = 0 \]
\[ f'(1) = \frac{1}{1} = 1 \]

Die Gleichung der Tangente in der Punktsteigungsform lautet:
\[ y = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) \]

Setzen wir die Werte ein:
\[ y = 1 \cdot (x - 1) + 0 \]
\[ y = x - 1 \]

Der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ist der Punkt, an dem \( x = 0 \):
\[ y = 0 - 1 = -1 \]

Der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ist somit \( (0, -1) \).

### c) Der \( x \)-Wert, bei dem der Funktionswert 100 ist

Wir suchen den Wert von \( x \), bei dem \( \ln(x) = 100 \).

Dies lösen wir durch Exponenzierung beider Seiten der Gleichung:
\[ \ln(x) = 100 \]
\[ x = e^{100} \]

Somit ist der \( x \)-Wert, bei dem der Funktionswert 100 ist:
\[ x = e^{100} \]

Zusammenfassung der Ergebnisse:

a) Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion an der Stelle \( x = 10 \) ist \( \frac{1}{10} \).

b) Der Schnittpunkt der Tangente an der Stelle \( x = 1 \) mit der y-Achse ist \( (0, -1) \).

c) Der \( x \)-Wert, bei dem der Funktionswert 100 ist, ist \( e^{100} \).