Komplexe Formel umstellen: Umstellung kombinierte Sigmoid-Geradengleichung mit Maximalauswahl

Question

Hallo liebe Könner,

ich hatte die Frage vor einiger Zeit schon einmal gestellt, leider hat sich hier niemand gefunden, der mir helfen konnte. Vielleicht hat ja nun jemand die zündende Idee...

Ich hatte zwischenzeitlich auch Kollegen, immerhin studierte Mathematiker, und online-Portale um Hilfe ersucht, leider stießen alle an ihre Grenzen oder vielleicht habe ich bei der Eingabe in die Portale auch wichtige Regeln nicht beachtet??

Ohne die große Matheleuchte zu sein bin ich aber der Überzeugung, dass sich das Problem irgendwie lösen lassen muss, am Ende ist ja doch "nur" eine Gleichung. Falls es an der Maximalbedingung scheitern sollte, so könnte man die zur Not auch weglassen..

ich möchte die folgende Formel nach x umstellen, wobei x <> y bzw. Theta <> Theta 0 ist.

h=A/(1+(B/(x-y))^C)+D+MAX((m1*x+z1);(m2*x+z2)) (Excel-tauglich aufbereitet, mit Maximalbedingung)

h=A/(1+(B/(x-y))^C)+D+(m*x+z) (Excel-tauglich aufbereitet, ohne Maximalbedingung)

In der Originalversion sieht die Formel so aus, wobei hier x = Theta, y=Theta 0 und z = b (nicht = groß "B")

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Komplexe Gleichung umstellen

Stichworte: umstellen,auflösen,gleichung,termumformung

Ich würde mich über einen Tipp oder eventuell sogar eine Lösung freuen. Ich möchte folgende Gleichung nach ϑ umstellen. Dabei sind alle Parameter außer ϑ  konstant bzw. bekannt, also auch ϑ_0.

Den ersten Term habe ich noch hinbekommen, doch nun ist der 2. dazugekommen, da steige ich aus. Vermutlich muss man die Gleichung erstmal teilen in den ersten Term + jeweils die beiden Geradengleichungen aus dem Max-Term und dann...

Ja und dann?

Es wäre schön, wenn bei einer Antwort/Erklärung berücksichtigt werden könnte, dass ich seit 25 Jahren aus der Schule raus bin und seit dem nur noch sporadisch mit Mathe in Berührung kommen... 

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Ich würde mich über einen Tipp oder eventuell sogar eine Lösung freuen. Ich möchte folgende Gleichung nach ϑ umstellen. Dabei sind alle Parameter außer ϑ  konstant bzw. bekannt, also auch ϑ_0.

Den ersten Term habe ich noch hinbekommen, doch nun ist der 2. dazugekommen, da steige ich aus. Vermutlich muss man die Gleichung erstmal aufteilen in den ersten Term + jeweils die beiden Geradengleichungen aus dem Max-Term und dann...

Ja und dann?

Es wäre schön, wenn bei einer Antwort/Erklärung berücksichtigt werden könnte, dass ich seit 25 Jahren aus der Schule raus bin und seit dem nur noch sporadisch mit Mathe in Berührung kommen...

h(ϑ) = (A / (1-(B/ϑ-ϑ₀)^C) +D + Max(m_HG x ϑ + b_HG | (m_WW x ϑ + b_WW)

Gleichung in Latex:

$$ \mathrm { h } ( \vartheta ) = \left[ \left( \frac { A } { 1 + \left( \frac { B } { \vartheta - \vartheta _ { 0 } } \right) ^ { C } } + D \right) + \max \left\{ \begin{array} { c } { m _ { H G } \times \vartheta + b _ { H G } } \\ { m _ { W W } \times \vartheta + b _ { W W } } \end{array} \right\} \right] $$

Answer 1

Das Irgendwie wird auf eine Iterationsformel hinauslaufen. Siehe Optionen - Formeln

Bilde aus der Gleichung eine Differenz = 0 und und für x einen Ausdruck der konvergiert (ergebnis<0 x hochsetzen, ergebnis >0 x runtersetzen) .

Ohne kongrete Zahlen kann ich in XL nichts ansetzen...

Eventuell könnte man auch was mit dem Solver oder auch mit der Zielwertsuche laufen lassen?

Comments

Hallo Wächter,

danke für die Antwort. Leider verstehe ich sie nicht ganz, habe aber konkrete Werte, außer Theta (bzw. x) und h sind alle Werte konstant.

Die Formel berechnet aus einer Temperatur einen Gasverbrauch. Ich möchte damit aus einem vorhandenen Verbrauch die Temperatur zu kontrollzwecken zurückrechnen. Theta variert also täglich, deswegen denke ich, dass ich mit dem Solver nicht weiterkomme.

Mappe3.xlsx (9 kb)

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Einen sinnvollen Wert für h bräucht ich auch damit ich sagen kann, ob die Zielwertsuche konvergiert:

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1 wäre ein sinnvoller Wert für h. Bei h=1 müsste Theta bzw. x (näherungsweise) 8 betragen.

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Hm,

das wird so nix. Wenn Deine Formel stimmt, dann ist h > 8,4766290 

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Das mit > 8,47.. würde schon hinkommen...

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Nun, dann kannst DU eine Zielwertsuche für h anwenden (siehe Daten Datentools Was wäre wenn Analyse).

Wenn Dich das Ausfüllen des Dialoges stört, dann kann man auch einen kleinen Makro aufzeichnen, der die Zielwertsuche anstöst...

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Das funktioniert zwar :-) !

Leider ist jedoch für die tägliche, betriebliche Anwendung ist aber eine Formel "x= ..."  der einzig zuverlässig gangbare Weg, da es noch sich (un)regelmäßig verändernde Komponenten gibt, die ich hier gar nicht aufgeführt habe, um die Sache nicht zusätzlich zu verkomplizieren.

Deshalb hatte ich bereits eingangs explizit nach der Umstellung der Gleichung gefragt... :-(

Dennoch herzlichen Dank!

Stefan

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Die Formel hat keine explizite Auflösung. Wenn die Genauigkeit genügt könntest Du eine Regressionfunktion anwenden:

 

Polynome

f x^2 = 1,16698*h^2 - 36,06197*h + 262,08556
f x^3 = 0,82373*h^3 - 22,20496*h^2 + 184,49143*h - 430,12795

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Hallo Wächter,

vielen Dank.

Ich verstehe zwar nicht, warum man keine Umstellung hinbekommen kann, schließlich gibt es doch für jeden Wert x einen Wert h, dann müsste das doch nach meiner Vorstellung auch umgekehrt gelten, oder zumindest zwei Werte und eine Definitionslücke , wegen der Wurzel  und der potentiellen 0 im Nenner...

Aber da ich es nicht besser weiß, glaube ich es am Ende....  :-( 

Deine oben stehenden Polynome könnten in der Sache hilfreich sein, wobei die Werte in der Tabelle unrealistisch sind. Basieren sie auf den von mir gelieferten Zahlen? Eigentlich müsste h kleiner werden, je größer x wird und sich im Bereich zwischen -0,1 und +3 bewegen. Ich werde mir das auf jeden Fall einmal genauer ansehen.. 

Beste Grüße

Stefan

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Ich hab Deine gepostete Formel einfach nach Excel kopiert und die passenden Namen in die Tabelle eingetragen. Dann eine Reihe x+0.5 an x-Werten erzeugt und dazu h errechnet.

Ein Diagramm erzeugt mit den h-Werte auf der x-Achse und eine Trendlinie als Polynom eingetragen und als Polynom einmal die Parabel und das Kubische Polynom zur Rückrechnung verwendet. 

Nach dem Du y=40 angegeben hast , muss x<40 sein, sonst wird es imaginär....

Ich schau mir mal Deine Beispieltabelle an?

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Also,

Du hast unterschiedliche Formeln einmal h=A/(1+(B und einmal h(ϑ) = (A / (1-(B deshalb trifft ist meine erste Darstellung den Sachverhalt nicht.

Die nun hoffentlich korrekte Funktion kann bestenfalls abschnittweise durch Reg-Formeln angenähert werden (siehe Diagramm).

Ich hab mal eine Funktion NewtonSigmoid mit dem Newton-Verfahren gebaut. Die enthält nur den einen Teil (mHG*x + bHG) der MAX-Formel und solange der verwendet wird Zeile 13-38 ermittelt die Funktion in Spalte E die korrekten Werte.

Oder Du baust die Funktion um, dass beide MAX-Terme verwendet werden (gleiche Funktion noch mal mit den Werten aus dem 2.MAX-Term) und entscheidest an hand der berechneten x-Werte welche der beiden Versionen verwendet wird...

Kopie von Xl0000003.xls (65 kb)

Answer 2

Hier meine Umformungen nach x

In der 4.Zeile wurde der Ausdruck in der geschweiften
Klammer ersetzt durch L

In den letzten Zeilen wurde wieder zurückersetzt;

^{1/C}  ist dasselbe wie ^C√ ( )

Für K kann entweder
- D + MAX((m1*x+z1);(m2*x+z2))
oder
- D+(m*x+z)
verwendet werden.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

Comments

Hallo Georg,

danke für deine Antwort.

Indem Formelteil, den du zu K  zusammengefasst hast, ist ja noch ein x ist. Das ist genau der Punkt, an dem ich gescheitert bin...

Aber herzlichen Dank für die Zeit und Mühe, die du mir geopfert hast..

Stefan

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Da hatte ich das 2. x doch glatt übersehen.

Ich werde mich weiter dran versuchen.

mfg Georg

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h=A/(1+(B/(x-y))^C)+D+(m*x+z)

Umgestellt zu

f ( x ) = A / (1+( B / ( x-y) )^C) + D + (m*x+z) - h

Ich bräuchte einmal Testdatensatz der bekannten
Größen

A =
B =
y =
C =
m =
z =
h =

Das Newton Verfahren müßte doch eigentlich
anwendbar sein.

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Hallo Georg,

hier die Werte für x = 6 mit h = 1,24579847

A=   1,3819663

B=   -37,412415

C=   6,1723179

D=   0,0396284

y=   40

m=   -0,0672159

z=   1,1167138

---

Mit den angegeben Werten und x als zu
berechnender Wert zeigt eine Grafik bereits
den Wert x = 6 an.

Komisch ist das die Funktion ( in diesem
Fall ) eine Gerade ist.

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Das wundert mich auch,

denn die ursprüngliche Funktion (h=..) ist eine Mischung aus einer sigmoiden und linearen Funktion. (siehe Anhang), deswegen hätte ich jetzt keine Gerade erwartet, sondern eher so etwas wie eine "umgekippte" Version der Ursprungskurve..

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Ich habe mich zwischenzeitlich weiter mit
der Angelegenheit beschäftigt.
x = 6 wird als Ergebnis gefunden.

Ich bestimme x gern noch mit anderen
Eingangsdaten.

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Ich habe hier noch eine Auswahl an Werten:

x [°C]h-1,32,1392170,51,9284354,71,4087846,91,134136

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Mist, die Formatierung ist verlorengegangen..

x [C°]                                              h

-1,3                                                2,139217

0,5                                                1,928435

4,7                                                1,408784

6,9                                                 1,134136

---

Vorab :

der Graph sieht bei anderer Skalierung
auch anders aus

 

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x [C°]                                              h

-1,3                                                2,139217

Wird auch so berechnet bzw. kann vom Graphen
abgelesen werden.


Lösungsweg  ( Eingabe )

h = 1,24579847

A=   1,3819663

B=   -37,412415

C=   6,1723179

D=   0,0396284

y=   40

m=   -0,0672159

z=   1,1167138

f := A / (1+( B / ( x-y) )^C) + D + (m*x+z) - h

Plotten lassen und die Nullstelle ablesen

---

Hallo Georg,

vielen Dank.

Ich verstehe zwar nicht, warum man keine Umstellung hinbekommen kann, schließlich gibt es doch für jeden Wert x einen Wert h, dann müsste das doch nach meiner Vorstellung auch umgekehrt gelten, oder zumindest zwei Werte und eine Definitionslücke , wegen der Wurzel  und der potentiellen 0 im Nenner...

Aber am Ende weiß ich es nicht besser und muss es glauben. Ich werde das mit deinem Vorschlag mit der graphischen Lösung mal ausprobieren. Vielen Dank für die deine Hilfe!

Beste Grüße

Stefan

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Hallo Stefan,

die direkte Berechnung als x =  ... funktioniert
wohl nicht.
Brauchen wir vielleicht ja auch gar nicht.

Excel kenne ich nicht. Ich nehme an A,B,C,D sind
Excel-Zellen.

Ist die Berechnung also mit Excel machbar ?

Die Zellen mit Werten versehen, in der letzten
Zelle steht die Formel. Und dann wird die Formel
gezeichnet und die Nullstelle als x-Wert abgelesen.

Sollte die Genauigkeit nicht ausreichen kann ein
Matheprogramm verwendet werden.
Ich selbst habe ein Matheprogramm mit dem ich
die Berechnung nach dem Newton-Verfahren
bereits programmiert habe.

Vielleicht eignet sich auch ein Internet-Rechner.

---

Hallo Georg,

alle Buchstaben -eben mit Ausnehme von h und x-  stehen für Konstanten. Man kann die ursprüngliche Formel (h=...) auch problemlos in Excel nachstellen. Es ist mir auch gelungen, den ersten, sigmoiden Teil der Formel (bis einschl. "D") nach x umzustellen. Aber dann wurde sie um die Geradengleichung mx+z erweitert und damit kam ein zweites x dazu. Ich hatte gehofft, es gäbe hier einen Trick à la quadratische Ergänzung o.ä... Scheint es aber wohl nicht zu geben.

---

Geht der Weg über Excel denn nicht ebenfalls
rucki-zucki ?

Falls x nur abhängig von h ist könnte man
auch eine Tabelle einmalig erstellen.

Answer 3

Ich habe die Formel numerisch nach \( \theta \) aufgelöst, und zwar für mögliche Werte von \( h \) im Bereich von \( 0 \cdots 10 \) und in einer Grafik dargestellt.

Für \( h = 1 \) bekommt man \( 8.012 \) wobei ich die Zahlen aus der Exceltabelle immer nur bis zur dritten Stelle nach dem Komma genommen habe.

Man kann natürlich auch eine Tabelle mit den möglichen Werten von \( h \) erstellen und dann für einen konkreten Wert interpolieren. Die Datei habe ich beigefügt.

0.1  37.61
0.2  17.36
0.3    14.5
0.4  13.46
0.5  12.46
0.6  11.51
0.7  10.59
0.8    9.7
0.9  8.839
1      8
1.1  7.178
1.2  6.368
1.3  5.566
1.4    4.77
1.5  3.974
1.6  3.177
1.7  2.373
1.8  1.561
1.9  0.7369
2  -0.102
2.1 -0.9586
2.2  -1.836
2.3  -2.736
2.4  -3.662
2.5  -4.616
2.6  -5.599
2.7  -6.614
2.8  -7.661
2.9  -8.742
3  -9.855
3.1    -11
3.2  -12.18
3.3  -13.39
3.4  -14.63
3.5  -15.9
3.6  -17.19
3.7  -18.51
3.8  -19.84
3.9  -21.2
4  -22.57
4.1  -23.96
4.2  -25.36
4.3  -26.77
4.4  -28.19
4.5  -29.62
4.6  -31.06
4.7  -32.5
4.8  -33.95
4.9  -35.4
5  -36.86
5.1  -38.32
5.2  -39.79
5.3  -41.26
5.4  -42.73
5.5  -44.2
5.6  -45.67
5.7  -47.15
5.8  -48.63
5.9  -50.1
6  -51.58
6.1  -53.06
6.2  -54.54
6.3  -56.03
6.4  -57.51
6.5  -58.99
6.6  -60.47
6.7  -61.96
6.8  -63.44
6.9  -64.93
7  -66.41
7.1  -67.9
7.2  -69.38
7.3  -70.87
7.4  -72.35
7.5  -73.84
7.6  -75.32
7.7  -76.81
7.8  -78.3
7.9  -79.78
8  -81.27
8.1  -82.76
8.2  -84.24
8.3  -85.73
8.4  -87.22
8.5  -88.7
8.6  -90.19
8.7  -91.68
8.8  -93.17
8.9  -94.65
9  -96.14
9.1  -97.63
9.2  -99.11
9.3  -100.6
9.4  -102.1
9.5  -103.6
9.6  -105.1
9.7  -106.6
9.8    -108
9.9  -109.5
10    -111

Comments

Das funktioniert zwar :-) !

Leider ist jedoch für die tägliche, betriebliche Anwendung ist aber eine Formel "x= ..."  der einzig zuverlässig gangbare Weg, da es noch sich (un)regelmäßig verändernde Komponenten gibt, die ich hier gar nicht aufgeführt habe, um die Sache nicht zusätzlich zu verkomplizieren.

Deshalb hatte ich bereits eingangs explizit nach der Umstellung der Gleichung gefragt... :-(

Dennoch herzlichen Dank!

Stefan

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Also die Gleichung ist so nicht umstellbar sondern nur numerisch lösbar. Ich habe das mit einem CAS Programm gemacht. Da gibt es verschiedene. Z.b. Matlab oder Mathcad o.ä.

In dem Beispiel oben, macht der Befehl "Suchen" numerisch das, was Du gerne analytisch hättest. Aber wie gesagt, das geht nicht.

Variationen in den anderen Parametern der Formel können ebenso berücksichtigt werden.

Eine andere Möglichkeit sehe ich nicht und gibt es wohl auch nicht.

Ich sehe auch nicht, warum so ein Verfahren nicht praktikabel sein sollte. Das wird in vielen Bereichen genauso eingesetzt, weil die meisten praktischen Probleme zu kompliziert sind um sie explizit zu lösen.

Ausserdem müsstes Du ja auch eine explizite Formel in irgendeinem Programm eingeben um die Temperatur zu berechnen. Und mehr macht man ja hier auch nicht. Entweder so wie ich es gemacht habe oder tabellarisch.