integrieren 1/(2+4x^2) hilfe

Question

Ich soll 1/(2+4x^2) integrieren.

Nun hab ich aber in einem Online-Rechner mal die Aufgabe eingetippt und er sagt das dort Wurzel 2x substituiert werden soll.

Das kann ich nur nicht ganz nachvollziehen. Wäre nett wenn jemand kurz erläutern könnte wieso dort Wurzel 2x und nicht 2x substituiert wird.

Danke für die Hilfe

Answer 1

(1) wenn Du eine Substitution \( t=\dots\) machst, integrierst Du nach \( dt \) und nicht nach \( du \).

(2) Für eine Funktion \( f(x) = {A \over \sqrt{B(x)}} \) kannst Du substituieren:

(i) \( t = B(x) \)

(ii) \( t = \sqrt{B(x)} \)

(iii) \( t = {A \over \sqrt{B(x)}} \)

Die Fälle (i) und (ii) sind meist egal, da es in den meisten Fällen auf die gleiche Rechnung hinausläuft.

Die ganze Funktion zu substituieren kann durchaus ebenfalls sinnvoll sein.

Ist speziell \( B(x) \) eine quadratische Funktion, so ist die Substitution \( t = x+\sqrt{B(x)} \) sinnvoller.

Grüße,

M.B.

Comments

Hallo MB,

∫ 1 / (2 + 4x²) dx = ? 

> (2)  Für eine Funktion  f(x) = A / √B(x) ....

Wo steht in der Aufgabenstellung eine Funktion dieser Form ?

Oder wolltest du die Frage

> ... wieso dort Wurzel 2x und nicht 2x substituiert wird

gar nicht beantworten?

Dann wäre das eigentlich ein "Bester Kommentar"  :-)

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,

irgend etwas habe ich mir eigentlich schon gedacht, aber frage um diese Uhrzeit nicht was.

Grüße,

M.B.

Answer 2

Ich lasse mal die Faktoren weg

t= √2 *x

x=t/√2

x^2=t^2/2

Wenn Du das einsetzt ,bekommst Du

1/(t^2+1) dt

und das ist das Arc Tan Integral.

Answer 3

  

> Wäre nett wenn jemand kurz erläutern könnte wieso dort Wurzel 2x und nicht 2x substituiert wird.

Nett ist mein zweiter Vorname :-) :

Man kennt  ∫  1 / (1 + z²) dz  = arctan(z)  + c     (oder sollte es sich merken :-))

∫ 1 / (2 + 4x²) dx  =  1/2 * ∫ 1 / (1 + 2x²) dx  =  1/2 * ∫ 1 / (1 + (√2·x)²) dx

Das legt die Substitution  z = √2·x)  nahe.

Wegen z ' = dz/dx = √2   →  dx = 1/√2 * dz   

→  ∫ 1 / (2 + 4x²) dx   = 1/2 * 1/√2 * ∫ 1 / (1 + z²) dz  = 1/(2·√2) * arctan(z) + c₁

= √2/4 * arctan(√2·x) + c  

Gruß Wolfgang