Question

Gegeben ist die reelle Funktion

f(x)=((x+1)²(x+2)(2-x)) / ((x²-1)(x²+4x+3))
.Geben Sie für diese Funktion den Definitions- und Wertebereich sowie Polstellen,Lücken und Nullstellen an und beschreiben Sie das Verhalten für x -> unendlich

Fertigen Sie aus diesen Angaben eine Skizze für den Graphen dieser Funktion

Bitte alles mit Erklärung und Lösungsweg, Brauche diesen Beispiel zum lernen. Danke :)

Answer 1

Zunächst zerlegt man den Nenner in Faktoren: ((x²-1)(x²+4x+3))= (x+1)·(x-1)·(x+1)·(x+3). Dann sieht man dass man kürzen kann:

f(x)=((x+1)²(x+2)(2-x))/( (x+1)·(x-1)·(x+1)·(x+3).) = ((x+2)(2-x))/((x-1)·(x+3).) Beim Kürzen geht eine hebbare Definitionslücke verloren aber die Diskussion wird einfacher. Nullstellen der Funktion sind Nullstellen des (gekürzten) Zählers: x₁=2; x₂ = - 2. Polstellen der Funktion sind Nullstellen des (gekürzten) Nenners: x₃=1; x₄=-3. Definitiobslücken der Funktion sind Nullstellen des (ungekürzten) Nenners: x₃=1; x₄=-3; x₅= - 1. Für x gegen ±unendlich geht der Graph gegen y=1 (Zählergrad=Nennergrad; Koeffizient der höchsten Potenz ist immer 1).