Fallunterscheidung/Reelle Zahlen

Question

Guten Tag, ich hänge an hier folgende Aufgaben für die mir jedoch leider keinerlei Ansätze hierbei einfallen, wäre sehr lieb wenn mir jemand konkrete Lösungswege schildern könnte.

(a) (2 Punkte) Zeigen Sie mithilfe einer Fallunterscheidung (bzgl. der Vorzeichen), dass für den Betrag des Produkts beliebiger reeller Zahlen x,y ϵ R gilt │x • y│= │x│• │y│.
Hinweis: Es gibt hier die (vier) Fälle x ≥ 0, x < 0 und y ≥ 0,< 0 zu betrachten.

(b) (3 Punkte) Bestimmen Sie alle x ϵ R, für die gilt: 2x -│x│> 8.

Answer 1

Da kann man doch durch den Tipp sofort loslegen:

1. Fall x≥0 und y≥0  also auch x*y≥0

==>  |x|=x und |y|=y also   |x|*|y|= x*y

und |x*y| =  x*y

2.   x<0 und y≥0  also x*y≤0

Für y=0 ist es ja klar, da ist   |x|*|y|= |x*y| wegen 0=0

also x<0 und y>0  also x*y<0
==>  |x|=-x und |y|=y also |x|*|y|= -x*y
 und  |x*y| = -x*y weil x*y<0.

etc.

Answer 2

Bestimmen Sie alle x ϵ R, für die gilt:

\(2x -│x│> 8|+│x│\)

\(2x > 8+│x│|-8\)

\(2x-8 > │x│|^{2}\)

\(4x^2-32x+64 > x^2|-x^2\)

\(3x^2-32x >-64|:3\)

\(x^2-\frac{32}{3}x >-\frac{64}{3}\)

\((x-\frac{16}{3})^2 >-\frac{192}{9}+\frac{256}{9}\)

\((x-\frac{16}{3})^2 >\frac{64}{9}|\sqrt{~~}\)

1.) \(x-\frac{16}{3} >\frac{8}{3}\)

\(x₁>8\)

2.) \(x-\frac{16}{3} >-\frac{8}{3}\)

\(x₂<\frac{8}{3}\)

Probe, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

\(x₁>8\)

\(x₁=8,1\)

\(2*8,1 -│8,1│> 8\) stimmt

\(x₂<\frac{8}{3}\)

\(x₂=\frac{7}{3}\)

\(\frac{14}{3} -│\frac{7}{3}│> 8|\) stimmt nicht. Somit gilt nur \(x>8\)