Hallo :-)
Es reicht hier eine vollständige Induktion über \(n\in \N\) zu machen:
Zu ,,=>" durch vollständige Induktion. Dafür seien \(x,y \in \R_{\geq0}\) beliebig, aber fest, gewählt.
Induktionsanfang: Für \(n=0\) hat man \(x^0=1\leq 1=y^0\).
Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein \(n\in \N\), sodass \(x^n\leq y^n\) gilt. (IV)
Induktionsschritt: Dann gilt auch \(x^{n+1}\leq y^{n+1}\).
Es gilt \(x^{n+1}\stackrel{(1)}{=}x\cdot x^n\ \stackrel{(2)}{\leq} x\cdot y^n \stackrel{(3)}{\leq} y\cdot y^n\stackrel{(4)}{=}y^{n+1}\).
Mache dir klar, was man in (1),...,(4) nutzen kann.
Zu ,,<=" durch Widerspruch. Dafür seien \(x,y \in \R_{\geq0}\) beliebig, aber fest, gewählt. Es gelte nun für alle \(n\in \N\) stets \(x^n\leq y^n\). Angenommen, es gelte \(x>y\). Dann bekommt man \(y^2=y\cdot y\stackrel{(5)}{<}x\cdot y\stackrel{(6)}{<}x\cdot x=x^2\) und damit \(y^3=y\cdot y^2\stackrel{(5)}{<}y\cdot x^2\stackrel{(6)}{<}x\cdot x^2=x^3,\) also induktiv \(y^n=y\cdot y^{n-1}<y\cdot x^{n-1}<x\cdot x^{n-1}=x^n,\) sodass \(x^n>y^n\) gilt. Das ist ein Widerspruch.
Auch hier wieder klarmachen, was man bei (5) und (6) nutzt.
