Muss man hier eine Fallunterscheidung machen?

Question

Aufgabe:

Beweise, dass für alle x,y ∈ R mit x≥0 und y≥0 sowie für alle n ∈ N gilt: x≤y ⇔ xⁿ ≤ yⁿ

mit Hilfe der Anordnungsaxiome

Problem/Ansatz:

Muss man hier eine Fallunterscheidung machen?

Ich verstehe hier auch nicht ganz die Gleichung, weil die Gleichheit für mich nicht gegeben ist

bspw ist ja  5≤7 ⇔ 5ⁿ≤ 7ⁿ , dass ist ja , bezogen auf die werte, nicht das gleiche. Ohne bezieht sich die Gleichheit nur auf das ≤ Zeichen

Answer 1

Hallo :-)

Es reicht hier eine vollständige Induktion über $n\in \N$ zu machen:

Zu ,,=>" durch vollständige Induktion. Dafür seien $x,y \in \R_{\geq0}$ beliebig, aber fest, gewählt.

Induktionsanfang: Für $n=0$ hat man $x^0=1\leq 1=y^0$.

Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein $n\in \N$, sodass $x^n\leq y^n$ gilt. (IV)

Induktionsschritt: Dann gilt auch $x^{n+1}\leq y^{n+1}$.

Es gilt $x^{n+1}\stackrel{(1)}{=}x\cdot x^n\ \stackrel{(2)}{\leq} x\cdot y^n \stackrel{(3)}{\leq} y\cdot y^n\stackrel{(4)}{=}y^{n+1}$.

Mache dir klar, was man in (1),...,(4) nutzen kann.

Zu ,,<=" durch Widerspruch. Dafür seien $x,y \in \R_{\geq0}$ beliebig, aber fest, gewählt. Es gelte nun für alle $n\in \N$ stets $x^n\leq y^n$. Angenommen, es gelte $x>y$. Dann bekommt man $y^2=y\cdot y\stackrel{(5)}{<}x\cdot y\stackrel{(6)}{<}x\cdot x=x^2$ und damit $y^3=y\cdot y^2\stackrel{(5)}{<}y\cdot x^2\stackrel{(6)}{<}x\cdot x^2=x^3,$ also induktiv $y^n=y\cdot y^{n-1}<y\cdot x^{n-1}<x\cdot x^{n-1}=x^n,$ sodass $x^n>y^n$ gilt. Das ist ein Widerspruch.

Auch hier wieder klarmachen, was man bei (5) und (6) nutzt.