Lineare Unabhängikeit zweier Vektoren zeigen (Satz), stimmt die Aussage?

Question

Satz: Die Vektoren u,v∈ℝ^n sind genau dann linear unabhängig, wenn die Vektoren (u+v), (u-v) linear unabhängig sind.

Bew.:

⇒ Annahme: u,v linear abhängig, aber (u+v) und  (u-v) sind linear unabhängig

Beweis: Seien λ,μ∈ℝ. Es gilt λu+μv=0, für (λ,μ)≠(0,0). Außerdem gilt: μv=-λu bzw. v= -(λ/μ)*u Also insbesondere, für α,β∈ℝ:

α(u+v) + β(u-v)=α(u - (λ/μ) u ) + β(u+ (λ/μ) u) = u(α - (λ/μ)α  ) + u(β+ (λ/μ) β)=u((α - (λ/μ)α  ) + (β+ (λ/μ) β))=0 ⇒ (α - (λ/μ)α  ) + (β+ (λ/μ) β)=0

⇔α +β =(λ/μ)(α - β), das scheint mir nicht zielführend zu sein :(

Gilt der Satz überhaupt? Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Der Satz stimmt.  Beweis:
Es gelte:  s * u + t * v = 0   =>   s = t = 0   (I)
Zu zeigen:  s * (u + v) + t * (u – v) = 0   =>   s = t = 0   (II)
(II)   =>   s u + t u + s v – t v = 0
(s + t) * u + (s – t) * v = 0
Wegen (I): 
s + t = 0
s – t = 0
=>   s = t = 0
Damit ist (II) bewiesen.
Jetzt noch den Beweis in umgekehrte Richtung führen.