Ebenengleichung einer von u und v aufgespannten Ebene bestimmen.

Question

Es seien die Vektoren u = (3, 1, 2), v = (1, −1, 1) ∈ R 3 gegeben.

(a) Bestimmen Sie eine Gleichung für die von den Vektoren u und v aufgespannte Ebene.

Kann mir jemand dazu bitte einen  Ansatz geben wie man hier vorgeht?

Answer 1

Hallo eileg,

die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) spannen unendlich viele Ebenen auf.  Eine davon geht durch den Nullpunkt und hat die Gleichung

E:   \(\vec{x}\) = r * \(\vec{u}\) + s * \(\vec{v}\)    ( r,s sind reelle Zahlen.)

Richtig wäre aber auch jede andere Ebene durch einen beliebigen Punkt A, die zu E parallel ist. 

Mit dem Ortsvektor \(\vec{a}\) von A hat diese dann die Gleichung

 \(\vec{x}\)  =  \(\vec{a}\) +  r * \(\vec{u}\) + s * \(\vec{v}\)

Gruß Wolfgang

Answer 2

Alternativ: wenn du eine Koordinaten Gleichung haben möchtest, berechne das Kreuzprodukt der beiden Vektoren:

u x v= (3,-1,-4)

Eine Koordinaten Gleichung  lautet also

3x-y-4z=d, wobei d beliebig gewählt werden kann (z.B d=0)