Stammfunktion bilden (partielle Integration mit ln)

Question

\( \int \underbrace{x}_{v'} \cdot \underbrace{\ln (3 x)}_{u} d x \\ u^{\prime} = \frac{1}{3 x} \\ v = \frac{1}{2}x^2 \)

\( \left[\ln (3 x) \cdot \frac{1}{2} x^{2}\right]-\int \frac{1}{3 x} \cdot \frac{1}{2} x^{2} d x \)

Ich weiß nicht, ob ich 1/3x mit 1/2x^2 multiplizieren kann.

Answer 1

u '  =  [ (ln(3x) ] '  = 1/(3x) * 3 = 1/x 

∫ u * v '  =  u * v  -  ∫  v * u '  

∫ x * ln(3x)  dx   =   1/2·x² · ln(3x) - ∫ 1/2·x² · 1/x  dx  =  1/2·x² · ln(3x) - 1/4 x² + c

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hi,

na klar darfst Du! Und danach wirds trivial. Auf geht's! :)

Grüße

Answer 3

Doch das kannst Du.

u' ist aber falsch , es muß sein = 1/x

das Ergebnis zum Vergleich:

=ln(3x) *x^2/2 - x^2/4 +C

Answer 4

in der dritten Zeile ist ein Fehler:

1/(3x)*x^2/2=x/6

Comments

Erst einmal ist in der 1. Zeile ein Fehler:   u ' = 1/x   [ ≠ 1/ (3x) ]

Answer 5

$$\int x\cdot ln(3x)\quad dx\\ u=ln(3x)\\ u'=\frac{1}{x}\\ v=\frac{x^2}{x}\\v'=x\\ \text{allg. }\int u\cdot v-\int u'v\quad dx\\ =ln(3x)\cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{x}dx\\ =ln(3x)\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int x \quad dx\\ =ln(3x)\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\frac{x^2}{2}+c\\ =ln(3x)\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}+c$$