Nullstellen und Extrempunkte von f(x) = 1/8·(x^3 - 6·x^2 + 32)

Question

Gleichung

f(x) = 1/8·(x^3 - 6·x^2 + 32)

Ich bekomme -2 und bei 4 eine Doppelte Nullstelle.

Was bedeutet genau eine Doppelte Nullstelle?

Answer 1

f(x) = 1/8·(x^3 - 6·x^2 + 32)

f'(x) = 1/8·(3·x^2 - 12·x) = 3/8·(x^2 - 4·x)

Nullstellen f(x) = 0

x^3 - 6·x^2 + 32 = 0

Durch die Wertetabelle findet mal die Nullstellen 4 und -2. Wir faktorisieren mit Polynomdivision und erhalten

f(x) = (x + 2)·(x - 4)^2

Bei der einfachen Nullstelle -2 wird die x Achse geschnitten, bei der doppelten Nullstelle bei 4 nur berührt. Skizze folgt.

Extrempunkte f'(x) = 0

x^2 - 4·x = x·(x - 4) = 0
x = 4 ∨ x = 0

f(4) = 0
f(0) = 4

Skizze:

Comments

f(4) = 0
f(0) = 4 seit wann  macht man dies gegenverkehrt ??

ic dachte ich hab habe 00 und bei 4/0 eine Doppel Nullstelle

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Ich habe für die Extremstellen 0 und 4 heraus und muss beides in die Funktion einsetzen um die y-Koordinaten zu bekommen. Dabei weiß ich schon das 4 eigentlich eine Nullstelle ist. Da spart man sich das rechnen schreibt es formal aber auch auf.

Mit gegenverkehrt hat das nichts zu tun. Das genau das Gegenteilige bei den Y-Koordinaten herauskommt ist Zufall und nicht beabsichtigt.

Answer 2

Bei einer Funktion 3. Grades erwartet man 3. Nullstellen, erhält man un wie Hier nur zwei werte , muss eine der beiden Lösungen eine doppelte Nulstelle sein.

die Funktio sieht nach der Faktoriesierung so aus .

1/8*(x-4)²*(x+2) =0  hieraus kann man nun die Nullstellen wunderbar herauslesen x_1,2=4 uns x₃=-2

Zur Feststellung der Minima oder Maxima, die Funktion ableiten.

f´(x) = 3/8 x²-12x=3/8(x-4)*x       ⇒ ein minimum ist bei x=4

                                                        ein maximum     bei x=0

der  y-Wert ist  bei x=4   y=0 

                        bei x=0   y=4                         (1/8( 0³-6*0²+32)=4