Nullstellen und Extremwerte einer e-Funktion; f(x)=e^-x * (x+3)

Question

Ich soll die Nullstellen sowie die Extremwerte der Funktion f(x)=e^-x *(x+3) finden.
Ich hab schon die Ableitungen f'(x) = e^-x * (4+x) und f''(x)= e^-x *(5+x), bin mir aber nicht sicher, ob diese korrekt sind. Sollten sie falsch sein, bitte zeigt mir auch da meine Fehler und erklärt mir bitte, wie es richtig geht.
Leider habe ich nämlich keinen Schimmer, wie ich die Extremwerte zu berechnen habe, ich habe nur einen Tiefpunkt bei (-3/-54,598) raus, der zwar auf den Graphen liegt, laut Wertetabelle aus dem Taschenrechner allerdings kein Extremwert ist.
Wäre also gut, wenn man mir nicht nur die Lösung geben könnte, sondern auch ausführlich erklären könnte, wie ich die Extremwerte generell zu berechnen habe.
(Mit Extremwerten bei "normalen Funktionen" kenne ich mich aus, mit dem natürlichen Logarithmus allerdings kaum, es könnte also auch daran liegen, den also bitte nochmal besonders gut erklären, unser Lehrer war da sehr ungenau.)

Answer 1

Ein Logarithmus wird hier nicht benötigt, daran wird es also kaum liegen... Was die Nullstelle anbelangt: Mit dem Satz vom Nullprodukt kannst Du die einzige Nullstelle der Funktion sofort ablesen, mehr wird nicht benötigt. Dasselbe gilt für die Nullstellen der Ableitungen, also die Kandidaten für Extrem- und Wendestellen.

Comments

Ich dachte auch zuerst, x1=0 weil "Nullprodukt", die Wertetabelle aus dem Taschenrechner sagt aber wieder, dem ist nicht so. Deswegen wäre ein ausfürhlicher Lösungsweg ja echt nett.

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f(x) = e^-x * (x+3)

Berechnung der Nullstellen:

f(x) = 0

e^-x * (x+3) = 0   |   : e^-x ≠ 0

x+3 = 0

x = -3.

(Potenzen mit von Null verschiedener Basis sind immer ungleich Null,
können also aus dem Nullprodukt herausgekürzt oder wegggelassen werden!)

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In diesem Fall wäre die Nullstelle der ersten Ableitung ja -4, aber da sagt mein Taschenrechner, dem ist nicht so. Wie lautet also die Nullstelle der ersten Ableitung?

Answer 2

Leider stimmen deine Ableitungen nicht.
 f ( x ) = e^{-x}  * ( x+3 )
u = e^{-x}
u ´ = e^{-x} *(-1) = - e^{-x}
v = x + 3
v  ´= 1

( u * v ) ´ = u ´ * v +  u * v ´
[ e^{-x}  * ( x+3 ) ] ´ = -e^{-x} * ( x + 3 )  +  e^{-x} * 1
[ e^{-x}  * ( x+3 ) ] ´ = -e^{-x} * ( x + 3 )  -  e^{-x} * ( -1 )
[ e^{-x}  * ( x+3 ) ] ´ = -e^{-x} * ( x + 3 - 1 )
f ( x ) ´ = -e^{-x} * ( x + 2 )

Nullstelle
Ein Produkt ist immer 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
 f ( x ) = e^{-x}  * ( x+3 ) = 0
Die e-Funktion ist immer positiv
x + 3 = 0
x = -3
N ( -3 | 0 )
Extremstelle
f ( x ) ´ = -e^{-x} * ( x + 2 ) = 0
x + 2 = 0
x = -2
E ( -2 | 0 )